Materi Lengkap : Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinom dengan pangkat peubah tertingginya adalah 2.
Secara umum berbentuk f(x)=ax²+bx+c atau y=ax²+bx+c.

Sebuah fungsi selalu berhubungan dengan grafik fungsi. Begitu pun dengan fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat harus ditentukan titik potong dengan sumbu koordinat dan titik ekstrim. Sebutan lain untuk titik ekstrim adalah titik puncak atau titik maksimum/minimum. Sekarang kita bahas bagian-bagian tersebut satu per satu.

Titik potong dengan sumbu koordinat
Titik potong dengan sumbu X diperoleh dengan cara mencari nilai peubah x pada fungsi kuadrat jika nilai peubah y sama dengan nol, sehingga akan diperoleh titik potong (x₁,0) dan (x₂,0), dimana x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Tapi perlu diingat bahwa akar-akar persamaan kuadrat tergantung dari diskriminan. Jika diskriminannya sama dengan nol maka akan diperoleh hanya satu akar dan ini berarti hanya ada satu titik potong dengan sumbu X. Kalau diskriminannya kurang dari nol persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki akar real yang berarti tidak memiliki titik potong dengan sumbu X.

Titik potong dengan sumbu Y diperoleh dengan cara mencari nilai y pada fungsi kuadrat jika nilai peubah x sama dengan nol, sehingga diperoleh titik (0,y₁).

Titik Ekstrim
Titik ekstrim pada fungsi kuadrat merupakan koordinat dengan absisnya merupakan nilai sumbu simetri dan ordinatnya merupakan nilai ekstrim. Pasangan koordinat titik ekstrim pada fungsi kuadrat y=ax²+bx+c adalah sebagai berikut.

Seperti yang sudah disebutkan di atas, adalah sumbu simetri dan merupakan nilai ekstrim fungsi kuadrat.

Pembuktian Rumus Titik Ekstrim Fungsi Kuadrat
Titik ekstrim bisa diperoleh dari konsep turunan pertama.
Titik ekstrim fungsi kuadrat y=ax² + bx + c diperoleh dengan cara menurunkannya terlebih dahulu, kemudian hasil turunannya sama dengan nol, y' = 0, sehingga diperoleh bentuk sebagai berikut.

Substitusi x-ekstrim ini ke fungsi kuadrat awal

Langkah-Langkah Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat y=ax²+bx+c

1. Tentukan titik potong dengan sumbu koordinat.
   • Titik potong dengan sumbu X jika y=0.
     (tidak ada untuk fungsi kuadrat yang memiliki D<0).
   • Titik Potong dengan sumbu Y jika x=0.
2. Tentukan titik ekstrim, yaitu .

Mari kita bedah fungsi kuadrat f(x)=x²-6x+8
Titik potong dengan sumbu X
Ingat titik potong dengan sumbu X diperoleh jika nilai y=0, sehingga akan diperoleh bentuk persamaan kuadrat x²-6x+8=0.
Untuk memastikan bahwa persamaan kuadrat di atas memiliki akar, kita cari dulu diskriminannya.
D=b²-4ac=(-6)²-4(1)(8)=36-32=4
Karena diskriminannya 4 (positif) pastilah persamaan kuadratnya memiliki dua akar real berbeda. Artinya, fungsi kuadrat di atas memiliki dua titik potong dengan sumbu X. Titik potong dengan sumbu X diperoleh dari akar-akar persamaan kuadrat.
x²-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x=2 atau x=4
Jadi, titik potong dengan sumbu X adalah (2,0) dan (4,0)

Titik Potong dengan Sumbu Y
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika nilai x=0.
y=x²-6x+8
y=0²-6(0)+8=8
Jadi, titik potong dengan sumbu Y adalah (0,8)

Titik Ekstrim
Titik ekstrim fungsi kuadrat f(x)=ax²+bx+c adalah .
Berarti untuk fungsi kuadrat f(x)=x²-6x+8 titik ekstrimnya adalah sebagai berikut.

Sumbu simetrinya adalah x=3 dan nilai ekstrimnya adalah -1.

Dari informasi titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, dan titik ekstrim kita bisa menggambar grafik fungsi kuadrat. Langkahnya, setelah diperoleh titik potong dengan sumbu X, titik potong dengan sumbu Y, dan titik ekstrim, gambarkan titik-titik tersebut pada koordinat kartesius lalu hubungkan dengan kurva halus. Pada contoh di atas, fungsi kuadrat f(x)=x²-6x+8 memiliki titik potong dengan sumbu X (2,0) dan (4,0), titik potong dengan sumbu Y (0,8) dan titik ekstrim (3,-1). Gambarkan titik-titik ini pada koordinat kartesius seperti pada gambar di bawah ini.

Lalu hubungkan titik-titik tersebut dengan sebuah kurva halus, sehingga akan diperoleh kurva fungsi kuadrat f(x)=x²-6x+8 sebagai berikut.

Contoh soal dan pembahasan

Soal:
Jika fungsi f(x)=px²-(p+1)x-6 mencapai nilai tertinggi untuk x=-1, tentukan nilai p.
Jawaban:
x=-1 adalah sumbu simetri, rumusnya -b/2a.
Berarti -b/2a=-1
-(-(p+1))/2(p)=-1
p+1=-2p
3p=-1
p=-1/3

Soal:
Tentukan titik ekstrim dan titik potong dengan sumbu X untuk fungsi kuadrat
f(x)=x²-20x+75.

Jawaban:

Soal
Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat y=x²+4x-6 adalah...
Jawaban

Soal:
Diketahui f(x) = -x² + 5x + c, jika ordinat puncaknya 6 maka nilai c adalah...

Jawaban:
Ordinat titik puncak, rumusnya -D/4a
-(5²-4(-1)c)/4(-1) = 6
-(25+4c)/-4=6
-(25+4c)=-24
25+4c=24
4c=-1
c=-1/4

 

A.      Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0                   a, b dan c adalah bilangan real.

1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a)       memfaktorkan,
b)       melengkapkan kuadrat sempurna,
c)       menggunakan rumus.

1. a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0   dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.
Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0
Jawab:    x² – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0   atau    x – 1 = 0
x = 3   atau    x = 1
Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
Contoh 2 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.
Jawab:         (x – 2)² = x – 2
x² – 4 x + 4 =  x – 2
x² – 5 x + 6 = 0
(x – 3) (x – 2) = 0
x – 3 = 0   atau   x – 2 = 0
x = 3   atau          x = 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.
Contoh 3 :
Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.
Jawab:    2 x² + 7 x + 6 = 0
2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0
2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0
(x + 2) (2 x + 3) = 0
x +2 = 0     atau  2 x + 3 = 0
x = –2   atau           x = – 1
Jadi, penyelesaiannya adalah  –2 dan –1.

1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat  ax² + bx + c = 0   dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.
Jawab:   x² – 6 x + 5 = 0
x² – 6 x + 9 – 4 = 0
x² – 6 x + 9 = 4
(x – 3)² = 4
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.
Contoh 2:
Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.
Jawab:   2 x² – 8 x + 7 = 0
2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0
2 x² – 8 x + 8 = 1
2 (x² – 4 x + 4) = 1
2 (x – 2)² = 1
(x – 2)² = ½
x – 2 =    atau x – 2 = –
x = 2 + Ö2   atau x = 2 –Ö2
Jadi, penyelesaiannya adalah   2 + Ö2   dan   2 – Ö2.

1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.
Jawab:   x² + 7x – 30 = 0
a = 1  ,  b = 7  ,  c = – 30
x = 3   atau   x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

1. Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
2. Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
3. Salah satu akar x² – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
4. Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x² + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
5. Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar

1. x² – 3x + 2 = 0                                                                     f.   –2x² + 8x – 9 = 0
2. 3x² – 9x = 0                                                                         g.   –6x² + 10xÖ3 – 9 = 0
3. 6x² – 13x + 6 = 0                                                                h.   x² – 2xÖ3 – 1 = 0
4. 5p² + 3p + 2 = 0                                                                  i.   x² + x – 506 = 0
5. 9x² – 3x + 25 = 0                                                                j.   x² – x + Ö2 = 2

1. 2x – x(x + 3) = 0                                                              c.   (x – 3)² + 2(x – 3) – 3 = 0
2. (x – 3) (x + 2) – 2x² + 12 = 0                                          d.

berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm². Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!
2.      Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0  dengan akar-akarnya  ,  b² – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai  .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai  x tergantung dari nilai  D.
Apabila:

1. D > 0  maka  ÖD  merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan,       .
2. D = 0  maka  ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama.                .
3. D < 0  maka  ÖD  merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² + 5 x + 2 = 0
2. x² – 10 x + 25 = 0
3. 3 x² – 4 x + 2 = 0

Jawab :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1  ,  b = 5  ,  c = 2
D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata  D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0  mempunyai dua akar real berlainan.

1. x² – 10 x + 25 = 0

a = 1  , b = -10  ,  c = 25
D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0
Karena  D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0  mempunyai dua akar real sama.

1. 3 x² – 4 x + 2 = 0

a = 3  ,  b = –4  ,  c = 2
D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8
Ternyata bahwa  D < 0. Jadi, persamaan  3 x² – 4 x + 2 = 0  tidak mempunyai akar real.

Latihan 2

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

1. x² + 6x + 6 = 0
2. x² + 2x + 1 = 0
3. 2x² + 5x + 5 = 0
4. –2x² – 2x – 1 = 0
5. 6t² – 5t + 1 = 0
6. 4c² – 4c + 3 = 0

1. Tentukan nilai  p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!

1. 4x² + 8px + 1 = 0
2. 4x² – 4px + (4p – 3) = 0
3. px² – 3px + (2p + 1) = 0

1. Persamaan  x² – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
2. Buktikan bahwa persamaan  x² – px – (p + 1) = 0  mempunyai dua akar real berlainan!
3. Buktikan bahwa    mempunyai dua akar real berlainan!

3.      Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat   ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0
x² + x + = 0
Karena  x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi,  ,   .
Contoh:
Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂ d.
2. x₁.x₂ e.   x₁³ + x₂³
3. x₁² + x₂²

Jawab:          x² – 3 x + 4 = 0  ®  a = 1  ,  b = –3  , c = 4
a.   x₁ + x₂ = 3
b.   x₁.x₂ = 4
c.   x₁² + x₂² = x₁² + x₂² +  2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂
= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1
e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³
= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ +  x₂) + x₂³
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)
= 3³ – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9

Baca Juga:

Persamaan Eksponen (pangkat) Matematika Beserta Contohnya

Latihan 3

1. Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
2. Akar-akar persamaan x² + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
3. Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
4. Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax² – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
5. Akar-akar persamaan x² + ax + b = 0 adalah x₁ dan x₂.

1. x² – 5x + 7 = 0                                                                     d.   bx² + ax + c = 0
2. 2x² – 7 = 0                                                                           e.
3. 4x² – 3x = 0                                                                         f.   (x – p)² + (x – q)² = p² + q²

1. p² + q²
2. (p + 2) (q + 2)
3. (p – 2q) (q – 2p)

Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui x_i² – x₁x₂ + x₂² = 5.
4.     Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v  menggunakan perkalian faktor,
v  menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat   x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab:   (x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x² – 3 x + 2 x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0.
Contoh 2:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya   dan  !
Jawab:   (x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x² – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x² – 5 x + 1 = 0

1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .
Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab:   x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5
x₁ x₂ = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0   atau   x² + 5x + 6 = 0.

1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂.  ®  x₁ + x₂ =  2  ,  x₁ x₂ = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan  q =  x₂ +3
p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3)                                 p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)
= x₁ + x₂ + 6                                                  = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9
= 2 + 6 = 8                                                    = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.
Contoh 2:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0.
Jawab:
Misalkan akar-akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂ serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x₁ dan  b = 2x₂
a + b = 2(x₁ + x₂) = 2
a b = 2x₁ . 2x₂ = 4x₁ x₂ = 4 .  = 2
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x² – (a + b)x + ab = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah    x² – 3x + 2 = 0..

Latihan 4

1. Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
2. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah  dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
3. Akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
4. Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
5. Diketahui persamaan 2x² – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

1. 1 dan 3
2. 2 dan -4
3. -1 dan -5
4. –Ö2  dan  2Ö2
5. (p + q)  dan  (p – q)

1. (a + 1)  dan  (b + 1)
2. (a– 3)  dan  (b– 3)

1. 4a dan 4b
2. –a  dan  –b
3. (2a + 1)  dan  (2b + 1)
4. a² dan  b²

1. berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
2. kebalikan akar persamaan yang diketahui.

Share this post