MATERI LENGKAP: Fungsi Kuadrat dan Soal Lengkap Menyelesaikan Fungsi Kuadrat

1. Pengertian Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat yaitu suatu fungsi yang pengkat variabel tertingginya adalah dua.
Bentuk umum:

y = ax² + bx + c = 0, a≠0 dan a,b,c elemen R

2. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat berupa parabola dengan posisi parabola ditentukan oleh nilai a.

a. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas

b. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah

3. Titik Potong terhadap Sumbu-sumbu Koordinat

Titik potong terhadap sumbu-sumbu koordinat, terdiri atas dua macam, yakni:
a. Titik potong terhadap sumbu X
Agar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c = 0 memotong sumbu X maka nilai y haruslah sama dengan 0
y = 0 <=> ax² + bx + c = 0
(x - x1)(x - x2) = 0
Koordinat titik potongnya adalah (x1, 0) dan (x2, 0)

b. Titik potong pada sumbu Y
Agar grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c = 0 memotong sumbu Y maka nilai x haruslah sama dengan 0
x = 0 <=> y = a(0)² + b(0) + c = c

Koordinat titik potongnya adalah (0 , c)

4. Titik Puncak/Titik Balik dan Sumbu Simetri
Bentuk y = ax² + bx + c dapat ditulis menjadi y = a(x + b/2a)² + [(b² - 4ac)/-4a]
x disebut sumbu simetri
y disebut nilai ekstrim
=> Jika a > 0 maka y.eks = y.min
=> Jika a < 0 maka y.eks = y.max
      Titik puncak parabola : [(-b/2a) , (b² - 4ac)/-4a]
=> Jika a > 0 maka titik puncak adalah titik balik minimum dan parabola terbuka ke atas.
=> Jika a < 0 maka titik puncak adalah titik balik maksimum dan parabola terbuka ke bawah.

5. Kegunaan Diskriminan pada Fungsi Kuadrat
a. Mengetahui hubungan parabola dengan sumbu X
   1) Jika D > 0 maka parabola memotong sumbu X pada dua titik
   2) Jika D = 0 maka parabola menyinggung sumbu X
   3) Jika D < 0 maka parabola tidak menyinggung ataupun memotong sumbu X
   Perhatika grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c

b. Mengetahui hubungan parabola dengan garis
Untuk menentukan apakah suatu garis itu memotong atau tidak memotong parabola, maka dapat dilakukan dengan cara mensubtitusikan garis ke parabola, dan hasilnya seperti di bawah ini.
1) Jika D > 0 maka garis memotong parabola di titik
2) Jika D = 0 maka garis menyinggung parabola (berpotongan di satu titik)
3) Jika D < 0 maka garis tidak menyinggung ataupun memotong parabola

6. Menentukan Persamaan Kurva dari Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan persamaan kurva jika grafik fungsi kuadratnya diketahui dapat dilakukan dengan cara berikut.
a. Jika diketahui titik puncak = (xp , yp), gunakan rumus:
y = a(x - xp)² + yp
b. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X yakni (x1 , 0) dan (x2,0) gunakan rumus: y = a(x - x1)(x - x2)
c. Jika yang diketahui selai titik pada poin a dan b, maka gunakan rumus: y= ax² + bx +c.

Contoh 1 (UMPTN 1992)

Grafik dari y = 4x - x² paling tepat di gambar sebagai ....

Pembahasan:

y = 4x - x² dapat ditulis menjadi y = - x² + 4x,dengan koefisien-koefisien a = -1, b = 4, dan c = 0.

=> Karena a = -1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah

=> Nilai diskriminannya (D):

D = b² - 4ac = (4)² - 4(-1)(0) = 16

Karena D = 16 > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik.

=> Titik potong dengan sumbu X

y = 0 => - x² + 4x = 0

x(-x + 4) = 0

x = 0 atau x = 4

Jadi, grafik y = 4x - x² yang benar adalah grafik pada jawaban B.

Contoh 2 (PROYEK PERINTIS 1979)

Grafik fungsi y = x² - 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .

A. a < 0 B. a < 4 C. a ≤4 D. a > 4 E. a ≥ 4

Pembahasan:

Fungsi y = x² - 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:

1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 0

2) Menyinggung sumbu X => D = 0

Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0

<=> b² - 4ac ≤ 0

<=> (-4)² - 4(1)(a) ≤ 0

<=> 16 - 4a ≤ 0

<=> 16 ≤ 4a

<=> 4 ≤ a

<=> a ≥ 4 ----------> Jawaban: E

Contoh 3 (PROYEK PERINTIS 1979)

Titik puncak dari parabola {(x,y)| y = 2x² - 12x + 14} adalah. . . . .

A. (3 , 4) B. (3 , -4) C. (6 , 4) D. (6 , -4) E. (3, 6)

Pembahasan:

y = 2x² - 12x + 14 dengan a = 2, b = -12, dan c = 14

Titik puncak (xp , yp):

xp = -b/2a = -(-12)/2(2) = 12/4 = 3

yp = (b² - 4ac)/(-4a)

= [(-12)² - 4(2)(14)]/-4(2) = (144 - 112)/(-8) = -4

Jadi, titik puncaknya adalah (3 , -4) ----------> Jawaban: B

Contoh 4 (SIPENMARU 1987)

Jika parabola y = x² - px + 7 puncaknya mempunyai absis 4, maka ordinatnya adalah.....

A. -9 B. -8 C. 0 D. 8 E. 9

Pembahasan:

Absis (x) = -b/2a = 4

<=> -(-p)/2(1) = 4

<=> p/2 = 4

<=> p = 8

Ordinat (y) = (b² - 4ac)/(-4a)

<=> y = ((-8)² - 4(1)(7))/(-4.1)

<=> y = (64 - 28) / (-4)

<=> y = 36 / (-4)

<=> y = -9

Jadi, ordinatnya adalah -9 -----------> Jawaban: A

Contoh 5 (UMPTN 1998)

Nilai tertinggi fungsi f(x) = ax² + 4x + a adalah 3, sumbu simetrinya adalah x = ......

A. -2 B. -1 C. -1/2 D. 2 E. 4

Pembahasan:

f.maks = (b² - 4ac)/(-4a) = 3, syarat a < 0

<=> (4² - 4a.a)/(-4a) = 3

<=> 16 - 4a² = -12a

<=> 4a²- 12a - 16 = 0

<=> a²- 3a - 4 = 0

<=> (a + 1)(a - 4) = 0

<=> a = -1 atau a = 4 (tidak memenuhi)

Sumbu simetri = -b/2a = -4 / 2(-1) = 2 -----------> Jawaban: D

Contoh 6 (PROYEK PERINTIS 1983)
Nilai k yang harus diambil supaya f(x) = kx² + 16x + 4k selalu mempunyai nilai positif adalah......
A. k < -4 atau k > 4 B. -4 < k < 4 C. 0 < k < 4
D. k > 4 E. k < 4
Pembahasan:
Selalu mempunyai nilai positif = definit positif, syarat:
1) D < 0
<=> b²- 4ac < 0
<=> 16²- 4(k)(4k) < 0
<=> 16²- 16k² < 0
<=> 16 - k² < 0
<=> (4 - k)(4 + k) < 0
<=> k < -4 atau k > 4 --------------------(1)
2) a > 0
k > 0 ----------------------------------(2)
Dari (1) dan (2) diperoleh k > 4 ------------> Jawaban: D