Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV) dan Contoh Soal

"MATERI LENGKAP : Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat". Pada postingan ini, akan dijelaskan cara menyelesaikan soal-soal yang berkaitan dengan sistem persamaan linear.

1. Sistem Persamaan Linear

a. Persamaan Linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Benjtuk umum persamaan linear satu variabel adalah:

ax + b = c, dengan a ≠0

b. Persamaan linear dua veriabel adalah persamaan linear yang mengandung variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel:

ax + by = c, dengan a ≠0 dan b≠0

2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Sistem persamaan linear dua veriabel adalah sistem persamaan yang menandung paling sedikit sepasang (dua buah) persamaan linear dua vartiabel yang hanya mempunya satu penyelesaian.Sistem persamaan linear dua variabel dengan variabel x dan y secara umum ditulis sebagai berikut:

$a_1x + b_1 y = c_1$

` $a_1x + b_1 y = c_1$

dengan $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2 dan c_2 \epsilon R$

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat digunakan metode-metode di bawah ini:
a. Metode grafrik
b. Metode subtitusi
c. Metode eliminasi
d. Metode eliminasi-subtitusi

a. Metode Grafik
Metode grafik adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya. Langkah-langkah menggambar grafik:

Menggambar grafik masing-masing persamaan pada sebuah bidang Cartesisus dengan menggunakan metode titik potong sumbu
Bila kedua garis berpotongan pada sebuah titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki sebuah anggota, yaitu {(x,y)}.
Bila kedua garis itu sejajar (tidak berpotongan) maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota, yaitu {} (himpunan kosong)
Bila kedua garis itu berimpit, maka himpanan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak banyak hingganya.

Contoh soal (EBTANAS 2000)
Jika x dan y memenuhi sistem persamaan : $\left\{\begin{matrix} 2x+y = 5 \\ 3x - 2y = -3 \end{matrix}\right.$
Nilai x + y sama dengan .....
A. 6 B. 4 C. -2 D. -6 E. -8

Pembahasan:
Grafik persamaan garis 2x + y = 5
* Titik potong dengan sumbu x, maka y = o
   2x + 0 = 5
   <=> 2x = 5
   <=> x = 5/2
   Titik potongnya (5/2 , 0)
* Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
   2(0) + y = 5 <=> y = 5
   Titik potong (0,5)

Grafik persamaan garis 3x - 2y = -3
* Titik potong dengan sumbu x, maka y = 0
   3x - 2(0) = -3
   <=> x = -1
   Titik potong (-1,0)
* Titik potong dengan sumbu y, maka x = 0
   3(0) - 2y = -3
   <=> y = 3/2
   Titik potong (0, 3/2)
Garis 2x + y = 5 dan garis 3x - 2y = -3 berpotongan di titik (1,3) yang berarti x = 1 dan y = 3.
Jadi, x + y = 1 + 3 = 4 --------> Jawaban: B. 4

b. Metode Subtitusi
Metode subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggantikan satu variabel dengan variabel dari persamaan lain. Langkah-langkah menggunakan metode subtitusi:

Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebegai fungsi x
Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lainnya

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan :   $\left\{\begin{matrix} 4x + y = 12 \\ 2x + y = 8 \end{matrix}\right.$ adalah . . . . .
A. {(2,2)}      B. {(2,4)}     C. {(4,2)}     D. {(1,2)}     E. {(2,1)}
Pembahasan:
Dari persamaan 4x + y = 12 <=> y = 12 - 4x .......(1)
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan 2x + y = 8, diperoleh:
2x + (12 - 4x) = 8
<=> 2x + 12 - 4x = 8
<=> -2x = 8 - 12
<=> -2x = -4
<=> x = 2
Subtitusi nilai x = 2 ke persamaan (1) diperoleh:
y = 12 - 4(2)
y = 12 - 8
y = 4
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,4)} -----> Jawaban: B

c. Metode Eliminasi
Metode eliminasi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel. Langkah-langkah menggunakan metode eliminasi:
1. Perhatikan koefisien x (atau y)
a. Jika koefisiennya sama:
i) Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama
ii) Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b. Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan operasi penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah sebelumnya.
2. Lakukan kembali langkah (1) untuk mengeliminasi variabel lainnya.

Contoh soal:
Himpunan penyelesaian sistem persamaan: $\left\{\begin{matrix} 7x + 5y = 2 \\ 5x + 7y = -2 \end{matrix}\right.$ adalah {(p.q)}. Nilai p - q = .....
A. 0     B. 1     C. -1     D. 2     E. -2
Pembahasan:
Mengeliminasi variabel x
7x + 5y = 2 |x5| 35x + 25y = 10
5x + 7y = -2 |x7| 35x + 49y = -14 -
                                    -24y = 24
                                         y = -1
Mengeliminasi variabel y
7x + 5y = 2 |x7| 49x + 35y = 14
5x + 7y = -2 |x5| 25x + 35y = -10 -
                                     24x = 24
                                         x = 1
Himpunan penyelesaiannya {(p,q)} = {(-1,1)}
Nilai p - q = 1-(-1) = 2 --------> Jawaban: D

d. Metode Eliminasi-Subtritusi

Metode eliminasi-subtitusi adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan metode subtitusi. Metode elminasi digunakan untuk mendapatkan variabel pertama dan hasilnya disubtitusikan ke persamaan untuk mendapatkan variabel kedua.

Contoh Soal:
Di sebuah toko, Rabil membeli 4 barang A dan 2 barang B dengan hargar Rp 4000,- Mazlan membeli 10 barang A dan 4 barang B dengan harga Rp 9.500,- Alif ingin membeli sebuah barang A dan sebuah barang B dengan harga....
Pembahasan:
Misal: Barang A = A dan Barang B = B
Diketahui:
Rabil => 4A + 2B = 4000 <=> 8A + 4B = 8000
Mazlan => 10A + 4B = 9500
Alif => A + B = .....?
Dengan menggunakan eliminasi:
8A + 4B = 8000
10A + 4B = 9500 -
<=> -2A = -1500
<=> A = 750
Subtitusi nilai A = 750 ke salah satu persamaan, diperoleh:
4(750) + 2B = 4000
<=> 3000 + 2B = 4000
<=> 2B = 1000
<=> B = 500
Maka A + B = 750 + 500 = 1.250
Jadi, harga sebuah barang A dan sebuah barang B adalah Rp 1.250,-

1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Bentuk umum sistem persamaan linear dan kuadrat dua variabel dengan variabel x dan y adalah

$\left\{\begin{matrix} y = ax + b & (bentuk .linear)\\ y = px^2+qx +r & (bentuk.kuadrat) \end{matrix}\right.$

dengan a, b, p, q, r adalah bilangan real.

Langkah-langkah Menyelesaikan SPLKDV

a. Subtitusikan y = ax+b ke y = px² + qx + r sehingga berbentuk persamaan kuadrat

b. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk yakni x1 dan x2

c. Subtitusikan x1 dan x2 ke persamaan bentuk linear untuk mendapatkan y1 dan y2

d. Himpunan penyelesaiannya adalah {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian antara persamaan bentuk linear dan bentuk kuadrat memiliki tiga kemungkinan, yakni:

Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunya himpunan penyelesaian atau { }

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} y = x - 3\\ y = x^2-4x+3 \end{matrix}\right.$ adalah
A. {(2,-1),(3,0)}
B. {(1,2),(3,0)}
C. {(-1,0),(2,3)}
D. {(2,3),(0,-1)}
E. {(0,3),(-1,2)}
Pembahasan:
Substitusikan y = x - 3 ke y = x² - 4x + 3, diperoleh:
x - 3 = x² - 4x + 3
<=> -x² + 5x - 6 = 0
<=> x² - 5x + 6 = 0
<=> (x - 3)(x - 2) = 0
<=> x1 = 3 atau x2 = 2
Untuk x1 = 3 maka y1 = 3 - 3 = 0
Untuk x2 = 2 maka y2 = 2 - 3 = -1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1),(3,0)} ---> Jawaban: A

2. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Sistem persamaan kuadrat dengan variabel x dan y secara umum dinyatakan sebagai berikut:

$\left\{\begin{matrix} y = ax^2+bx+c\\ y = px^2+qx + r \end{matrix}\right.$

dengan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real

Langkah-langkah menyelesaikan SPK:

Substitusikan persamaan yang satu ke persamaan yang lainnya sehingga terbentuk persamaan kuadrat
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat yang terbentuk sehingga diperoleh himpunan penyelesaian: {(x1,y1),(x2,y2)}

Himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat memiliki 6 kemungkinan, yaitu:

Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya.
Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga tidak mempunya himpunan penyelesaian atau { }
Jika a = p, b ≠ q, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
Jika a = p, b = q dan c ≠ r, maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga himpunan penyelesaiannya { }
Jika a = p, b ≠ q dan c = r, maka kedua parabola berimpit sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak berhingga penyelesaiannya.

Contoh Soal:
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\left\{\begin{matrix} y = x^2-2x-3\\ y = -x^2-2x+5 \end{matrix}\right.$ adalah
A. {(5,2),(2,3)}
B. {(2,-5),(2,-3)}
C. {(-2,5),(2,-3)}
D. {(-2,-3),(2,-5)}
E. {(-3,5),(2,-2)}
Pembahasan:
Substitusikan persamaan y = x² -2x - 3 ke persamaan y = -x² -2x + 5
x² -2x - 3 = -x² -2x + 5
<=> 2x² -8 = 0
<=> x² - 4 = 0
<=> (x - 2)(x + 2) = 0
<=> x = 2 atau x = -2
Untuk x = 2
y = x² - 2x - 3
y = (2)² -2 (2) - 3
y = 4 - 4 - 3
y = -3
Untuk x = -2
y = x² - 2x - 3
y = (-2)² -2 (-2) - 3
y = 4 + 4 - 3
y = 5
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(-2,5),(2,-3)} ----> Jawaban: C