Barisan Aritmetika
Suatu barisan U₁ , U₂ , U₃ ,..., U_n disebut barisan aritmetika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan "b".
Jadi, b = U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = U_n - U_n-1

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan aritmetika adalah:

U₁ = a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = a + 3b

...

U_n = U_n-1 + b = a + (n - 1)b

Bentuk U_n = a + (n - 1)b ; untuk n bilangan asli ini merupakan bentuk umum dari barisan aritmetika.
Untuk lebih memahaminya,

Deret Aritmetika (Deret Hitung)

Arti dari deret aritmetika disini adalah penjumlahan dari semua anggota barisan aritmetika secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret aritmetika adalah:

a + (a + b) + (a + 2b) + ...+ {a + (n -1)b}

Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S_n) dirumuskan sebagai:

S_n = n/2 (a + U₂ ) atau S_n = n/2{2a + (n - 1)b}

Hubungan antara barisan (U_n) dan deret aritmetika (S_n)

U_n = S_n - S_n-1

Sisipan Barisan Aritmetika

Misalkan U₁ , U₂ , U₃ , ..., U_n adalah barisan aritmetika dengan suku pertama _U1 = a, beda = b, banyaknya suku = n. Apabila di antara dua suku disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membuat barisan aritmetika yang baru, maka:

Barisan semula : a, a+b, a+2b, ...

Barisan baru: a, (a + b), (a + 2b), ..., (a + kb), a + (k + 1)b,...

Di antara barisan semula dan barisan baru diperoleh hubungan:

1. Beda baru (b') => b' = b : (k + 1)

2. Banyaknya suku baru (n') => n' = n + (n - 1)k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (S_n ') => S_n ' = n'/2 x (a + U_n )

Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Aritmetika

Contoh 1
Diketahui suatu barisan aritmetika:
-2, 3, 8, 13, 18, 23, . . .
Tentukan suku ke-50
Pembhasan:
Dari soal diketahui: a = -2 dan b = 8 - 3 = 5
U_n = a + (n - 1)b
U₅₀ = -2 + (50 - 1).5
U₅₀ = -2 + (49).5
U₅₀ = -2 + 245
U₅₀ = 243

Contoh 2

Suku ke-6 suatu barisan aritmetika adalah 24.000 dan suku ke-10 adalah 18.000. Supaya suku ke-n sama dengan 0, maka nilai n adalah....

Pembahasan:
U₆ = a + 5b = 24.000
U₁₀ = a + 9b = 18.000
------------------------- -
<=> -4b = 6.000
<=> b = -1.500

a + 5b = 24.000
a = 24.000 - 5b
a = 24.000 - 5(-1.500)
a = 24.000 + 7.500
a = 31.500

Diketahui U_n = 0
<=> a + (n - 1)b = 0
<=> 31.500 + (n - 1).(-1.500) = 0
<=> 31.500 - 1.500n + 1.500 = 0
<=> 1.500n = 33.000
<=> n = 22
Jadi, agar U_n = 0, maka nilai n = 22

Contoh 3

Dari sebuah deret hitung diketahui suku ketiga sama dengan 9, sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Jumlah 10 suku pertama adalah...
Pembahasan:

U_n = a + 2b = 9 ......................................(1)
U₅ + U₇ = 36
<=> (a + 4b) + (a + 6b) = 36
<=> 2a + 10b = 36
<=> a + 5b = 18......................................(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:
a + 2b = 9
a + 5b = 18
-------------- -
<=> -3b = -9
<=> b = 3
Dari persamaan (1) diperoleh:
a + 2b = 9
a = 9 - 2b
a = 9 - 2.3
a = 3
S_n = n/2 {2a + (n - 1)b}
S₁₀ = 10/2 {2.3 + (10 - 1).3}
S₁₀ = 5 . (33)
S₁₀ = 165
Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 165

Contoh 4
Diketahui barisan aritmetika 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah......
Pembahasan:
Barisan aritmetika: 5, 8, 11, ..., 125, 128, 131
Suku pertama, a = 5
beda, b = 8 - 5 = 3
Suku ke-n = 131
Suku tengah, Ut = 1/2(a + Un)
= 1/2 (5 + 131)
= 1/2 (136)
= 68

Contoh 5
Jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah....
Pembahasan:
Barisan bilangan di antara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 105, 110, 115,..., 295
Suku pertama (a) = 105, beda (b) = 5 dan Un = 295
Un = a + (n - 1)b
295 = 105 + (n - 1).5
295 = 105 + 5n - 5
295 = 100 + 5n
5n = 295 - 100
5n = 195
n = 195/5 = 39
Sn = n/2 (a + Un)
S39 = 39/2 (105 + 295)
= 39/2 (400)
= 7.800
Jadi, jumlah semua bilangan diantara 100 dan 300 yang habis dibagi 5 adalah 7.800

Contoh 6
Seorang pemetik kebun memetik jeruknya setiap hari, dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un = 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah .....
Pembahasan:
Diketahui Un = 50 + 25n, maka:
U1 = 50 + 25(1) = 75
U10 = 50 + 25(10) = 300
Sn = n/2 (a + Un)
S10 = 10/2 (75 + 300)
= 5(375)
= 1.875
Jadi, jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari pertama adalah 1.875 buah

Contoh 7

Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semua terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah. . .

Pembahasan:
Deret hitung (deret aritmetika) = 20 + 116, berarti n = 2
Deret aritmetika setelah sisipan = 20 + . . . + 111, dengan k = 11 sisipan
Banyak suku baru, n' = n + (n - 1)k
n' = 2 + (1).11
n' = 13

S_n ' = n'/2 (a + U_n )
S_n ' = 13/2 (20 + 116)
S_n ' = 13/2 (136)
S_n ' = 884
Jadi, jumlah deret aritmetika setelah sisipan adalah 884

Sekian dulu postingan kali ini, mudah-mudah soal dan pembahasan barisan dan deret aritmetika di atas dimengerti dan untuk lebih memahami tentang barisan dan deret aritmetika