PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum:

Dengan a, b, dan c є R dan a ≠ 0.

Contoh persamaan kuadrat:

x² + 5x + 6 = 0

2x² – 5x + 3 = 0

x² + 4 = 0

x² + 4x = 0, dan lain-lain.

MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT

Seperti dijelaskan diatas, ada 3 cara untuk menyelesaikan persamaan kuadrat, yaitu pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan dengan rumus ABC.

PEMFAKTORAN

Pemfaktoran yaitu mengubah bentuk ax² + bx + c = 0 menjadi (x₁ - p) (x₂ – q) = 0

Dengan p.q = c dan p + q = b.

Dalam menyelesaikan metode pemfaktoran, bayangkan sobat sedang mengerjakan soal perkalian.

Misal: (5) (6) = 30

(3 + 2) (1 + 5) = 30

3 + 15 + 2 + 10 = 30

Intinya adalah dengan mencari 2 akar-akar yang memenuhi persamaan.

Contoh:

Selesaikan persamaan kuadrat x²– 5x + 6 = 0 dengan metode pemfaktoran!

Jawab:

Sehingga HP = {2,3}

Kerjakan contoh dibawah ini sebagai latihan.

1. 6x²– x – 12 = 0

2. 4x² – 16 = 0

MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA

(x – 2)² = x² – 4x + 4

= x²– 2 (2) x + (2)²

Coba sobat perhatikan angka yang berada di dalam tanda kurung. Yap sobat benar, angka yang berada pada tanda kurung adalah angka yang sama sama. Sekarang sobat bisa lanjut ke bawah.

Cara menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna untuk ax² + bx + c:

1. Ubah koefisien dari variabel yang berpangkat dua menjadi 1 atau dengan kata lain ubah a-nya menjadi 1.

2. Buatlah koefisien dari variabel yang berpangkat satu (ubahlah b) menjadi dikalikan dengan dua. Misal variabel koefisien yang berpangkat satunya adalah 6x. Maka ubah 6x menjadi 2 (3) x.

3. Pindah c ke ruas lain.

4. Lalu tambah masing-masing ruas dengan angka yang dikurung dan dikuadratkan. Pada contoh diatas angka yang dikurung adalah dua sehingga masing masing ruas ditambah (2)².

5. Missal angka yang ada didalam kurung adalah n, maka tulislah (x-n)² = -c + n²

6. Setelah ruas kanan diselesaikan, maka sobat bisa dengan mudah mencari x dengan mengakar kedua ruas.

Lanjut ke contoh soal

1. Selesaikan persamaan kuadrat berikut ini menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna!

a. 2x² – 10x + 12 = 0

b. 6x² + x – 12 = 0

c. 3x² – 10x – 8 = 0

Jawab:

DENGAN RUMUS ABC

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan rumus ABC sobat bisa langsung menggunakan rumus abc, yaitu:

Agar sobat tidak bingung, sebaiknya kita langsung saja ke contoh soal.

Contoh soal.

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² – 2x – 35 = 0!

Jawab:

x² – 2x – 35 = 0 è a = 1, b = -2, c = -35

2. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² + 4x = 0!

Jawab:

x² + 4x = 0 è a = 1, b = 4, c = 0

3. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan x² – 4 = 0!

Jawab:

x² – 4 = 0 è a = 1, b = 0, c = -4

Kumpulan Soal Lengkap Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Pada postingan ini akan diuraikan beberapa contoh soal yang berkaitan dengan:

1. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

2. Menyelesaikan persamaan kuadrat berdasarkan sifat-sifat akar persamaan kuadrat

3. Menyusun persamaan kuadrat yang telah diketahui akar-akarnya.

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Contoh 1 (SKALU 1978)

Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - 6x - 5 = 0, maka x1² + x2² adalah.....

A. 26 B. 31 C. 37 D. 41 E. 46

Pembahasan:

Persamaan x² - 6x - 5 = 0 memiliki koefisien a =1, b = -6, dan c = -5

x1 + x2= (-b)/a = -(-6)/1 = 6

x1 . x2 = c/a = (-5)/1 = -5

x1² + x2² = (x1 + x2)² - 2x1.x2

= (6)²- 2(-5)

= 36 + 10

= 46 -------> Jawaban: E

Contoh 2 (PPI 1979)

Bila x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² - 5x + 9 = 0, maka x1³ + x2³ sama dengan.....

A. 10 B. 5 C. 1 D. -5 E. -10

Pembahasan:

Persamaan x² - 5x + 9 = 0 memiliki koefisien a =1, b = -5, dan c = 9

x1 + x2= (-b)/a = -(-5)/1 =5

x1 . x2 = c/a = 9/1 = 9

x1³ + x2³ = (x1 + x2)³ - 3x1.x2(x1 + x2)
                = (5)³-3(9)(5)
                = 125 -135
= -10 ------------> Jawaban: E

Contoh 3 (SIPENMARU 1988)
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan 3x² - 9x + 4 = 0 adalah.....
A. -4/9     B. -3/4    C. -9/4    D. 9/4     E. 3/4
Pembahasan:
Persamaan 3x² - 9x + 4 = 0 memiliki koefisien a =3, b = -9, dan c = 4

x1 + x2= (-b)/a = -(-9)/3 = 3

x1 . x2 = c/a = 4/3
Jumlah kebalikan akar-akarnya adalah
1/x1 + 1/x2 = (x1 + x2) : (x1.x2)
= 3: (4/3)
= 9/4 -----------> Jawaban: D

Contoh 4 (PPI 1981)
Akar-akar persamaan 2x² - 6x - p = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 - x2 = 5, maka nilai p adalah.....
A. 8 B.6 C.4 D.-6 E.-8
Pembahasan:
2x² - 6x - p = 0 memiliki koefisien a= 2, b = -6 dan c = -p
x1 + x2 = -b/a = -(-6)/2 = 3
x1 + x2 = 3
x1 - x2 = 5
------------- +
<=> 2x1 = 8
<=> x1 = 4
Subtitusi nilai x1 = 4 diperoleh:
x1 + x2 = 3
<=> x2 = 3 - x1
<=> x2 = 3 - 4
<=> x2 = -1
Nilai p :
x1 . x2 =c/a
<=> (4).(-1) = -p/2
<=> -8 = -p
<=> p = 8 --------------> Jawaban: A

Menyelesaikan persamaan kuadrat berdasarkan sifat-sifat akar persamaan kuadrat

Contoh 5 (UMPTN 1993)
(m + 3)x² + 2(m - 7)x + m-3 = 0 akan mempunyai akar-akar positif jika.....
A. -3< m <3 B. 3< m < 29/7 C. -3 < m < 7
D. -7 < m < 3 E. -29/7 < m < -3
Pembahasan:
Dari (m + 3)x² + 2(m - 7)x + m-3 = 0, diperoleh a = m + 3, b = 2(m- 7), dan c = m-3
Syarat mempunyai akar positif:
1) D = b² - 4ac ≥ 0
<=> (2(m-7))² - 4(m+3)(m - 3) ≥ 0
<=> 4(m²- 14m + 49) - 4(m² - 9) ≥ 0
<=> m²- 14m + 49 - m² + 9 ≥ 0
<=> -14m + 58 ≥ 0
<=> -14m ≥ -58
<=> m ≤ 58/14
<=> m ≤ 29/7
2) x1 + x2 > 0
<=> -b/a > 0
<=> -2(m -7)/(m+3) >0
<=> -3 < m < 7
3) x1.x2 > 0
<=> c/a > 0
<=> (m - 3)/(m + 3) > 0
<=> m < -3 atau m > 3
(1) ∩ (2) ∩ (3) = 3 < m < 29/7 ---------> Jawaban: B

Menyusun persamaan kuadrat yang telah diketahui akar-akarnya

Contoh 6 (PPI 1980)
Jika 2 dan 3 akar-akar persamaan kuadrat, maka persamaan kuadrat yang dimaksud adalah.....
A. x² + x + 5 = 0 B. x² + 6x + 5 = 0 C. x² + 5x - 6 = 0
D. x² - 5x + 6 = 0 E. x² + x + 5 = 0
Pembahasan:
Misalkan x1 = 2 dan x2 = 3, maka:
x1 + x2 = 2 + 3 = 5
x1 . x2 = 2 . 3 = 6
Persamaan kuadrat yang dimaksud adalah
x²- (x1 + x2)x + x1.x2 =0
x²- 5x + 6 = 0 -------------> Jawaban: D

Demikian postingan kali ini tentang "Metode Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dan Kumpulan Soalnya" mudah-mudahan dapat dipahami