Materi Lengkap Trigonometri Dengan Fungsi , Rumus Dan Pembahasan Contoh Soal

Dalam merancang kerangka sebuah jembatan perhitungan yang dilakukan tidaklah mudah. Beban, tegangan, serta gaya yang bekerja pada jembatan menjadi pertimbangan utama para perancang untuk mengonstruksikan model rancangannya. Proses ini didasarkan atas pengetahuan dari bangsa Romawi bahwa busur dapat menjangkau jarakyang lebih jauh dan menahan berat yang lebih berat daripada lintel (bentuk balok yang lurus horizontal). Atas dasar ini semakin banyak pula jembatan berbentuk busur yang dibangun. Penggunaan bentuk busur ini melibatkan kelengkungan yang perlu diperhitungkan kemiringan sudutnyayang diberikan dalam persamaan trigonometri. Lebih lanjut mengenai persamaan trigonometri akan Anda pelajari pada uraian berikut.

A. Perbandingan Trigonometri

Perhatikan lingkaran dengan pusat O (0, 0) dan jari-jari (r), sedangkan titik A (x, y) pada lingkaran dan sudut dibentuk oleh OA terhadap sumbu X. Pada berlaku r² = x² + y² sehingga diperoleh perbandingan trigonometri sebagai berikut.

1. Rumus Jumlah dan Selisih dua Sudut

a. Rumus untuk Cosinus jumlah selisih dua sudut

cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B cos
(A – B) = cos A cos B + sin A sin B

b. Rumus untuk Sinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B sin
(A – B) = sin A cos B – cos A sin B

c. Rumus untuk Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Contoh Soal

Jika tan 5°= p tentukan tan 50°
Jawab :

2. Rumus Trigonometri untuk sudut rangkap

a. Dengan menggunakan rumus sin (A+ B) untuk A = B, maka diperoleh:
sin 2A = sin (A + B)
= sin A cos A + cos A sin A
= 2 sin A cos A
Jadi,sin2A =2 sin A cos A
b. Dengan menggunakan rumus cos (A + B) untuk A = B, maka diperoleh:
cos 2A = cos (A + A)
= cos A cos A-sin A sin
A = cos²A-sin2A ……………(1)

Atau

Cos 2A = cos²A-sin²A
= cos² A- (1 – cos² A)
= cos² A – 1 + cos² A
= 2 cos² A – 1 ……….(2)
Atau

Cos 2A = cos²A-sin²A
= (1 -sin²A)-sin²A
= 1 – 2 sin²A ………. (3)

Dari persamaan (1) (2) (3) didapatkan rumus sebagai berikut.

Cos 2A = cos² A – sin² A
= 2 cos² A-1
= 1 – 2 sin² A

c. Dengan menggunakan rumus tan (A+B) untuk A=B, diperoleh

B. Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Sinus dan Kosinus
a. Rumus Perkalian Sinus dan Kosinus

2 sin A sin B = cos (A- B) – cos (A+ B)

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A-B)

2 cos A sin B = sin (A + B)-sin (A-B)

2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A- B)

Contoh Soal

Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15°

Jawab:

2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)°
= cos 90° + cos 60°
= 0 + ½
= ½

b.Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Kosinus

sin A + sin B = 2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

sin A – sin B = 2cos ½ (A+B) sin ½ (A-B)

cos A + cos B = 2cos ½ (A+B) cos ½ (A-B)

cos A – cos B = -2sin ½ (A+B) cos ½ (A-B)

tan A + tan B =

tan A – tan B =

Contoh Soal

Tentukan nilai dari sin 105° + sin 15°
jawab:
sin 105° + sin 15° = 2 sin ½ (105+15)°cos ½ (105-15)°
= 2 sin ½ (102)° cos ½ (90)°
= sin 60° cos 45°

C. Identitas Trigonometri
Rumus rumus dasar identitas trigonometri sebagai berikut.

Untuk membuktikan suatu persamaan mempakan identitas atau bukan maka persamaan itu diubah dengan salah satu dari cara-cara berikut.

Mengubah bentuk ruas kiri sehingga menjadi bentuk ruas kanan.
Mengubah bentuk ruas kanan, sehingga menjadi bentuk ruas kiri.
Mengubah bentuk ruas kiri maupun ruas kanan sehingga menjadi bentuk yang sama.

Contoh Soal

Buktikan bahwa sin⁴ α – sin² α = cos⁴ α – cos² α

Jawab.

sin⁴ α – sin² α = (sin²α)² – sin² α
= (1 cos² α)²– (1 cos² α)
= 1 – 2 cos² α + cos⁴ α – 1 + cos² α
= cos⁴ α – cos² α

Dalam mempelajari fungsi trigonometri sering banyak yang merasa kesulitan, padahal jika kita mengetahui konsep dasarnya itu tidak akan terjadi. Bentuk soal seperti apapun kita akan dapat kerjakan yang penting kita mengetahui konsep dasarnya. Dan rumus matematika kali ini memberikan paparan lengkap mengenai fungsi trigonometri.

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Dasar dari Trigonometri adalah Konsep kesebangunan segitiga siku-siku. Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua bangun datar yang sebangun memiliki perbandingan yang sama. Pada geometri Euclid, jika masing-masing sudut pada dua segitiga memiliki besar yang sama, maka kedua segitiga itu pasti sebangun.[1] Hal ini adalah dasar untuk perbandingan trigonometri sudut lancip. Konsep ini lalu dikembangkan lagi untuk sudut-sudut non lancip (lebih dari 90 derajat dan kurang dari nol derajat).

SINUS

Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Seperti telah dinyatakan dalam fungsi dasar diatas. Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.

COSINUS

Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Seperti yang telah dinyatakan dalam fungsi dasar diatas. Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.

TANGEN

Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 derajat). Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.