Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Monday 8 October 2018
Add Comment
Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
→ mengandung 2 variabel berpangkat 1
Bentuk umum:
![Picture1](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u9gpPK1QQxG_zMQpPEPUYLkHuhvpk2Dd5I7fALyeIz4scVHgASfDCT9tgQT2Kh3EiKQvZrZAQ0OXUtQ1Q_2FCYqkQUunIPeXi-LI3TdBoXVtY9eR7sbIjuSBHHNYQASJpj2G390MPcxg=s0-d)
dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real
Catatan:
![Picture2](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u0oQXvG185V_sXSAdKmdjRYwFaLzO-vEr_dPdvPgQ7oa0aswibCf5nTtGnbK2WwF7nc2F4A_ps-dYWR6NhLrBSzlZwFFQ-MCQI5drHFV7m3HcQ51x2FQnbRMyEZ7rV8IHOsQSKhPtfUg=s0-d)
Penyelesaian:
Bentuk umum:
dimana a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 adalah bilangan real
Catatan:
Penyelesaian:
- Metode grafik
- Metode substitusi
- Metode eliminasi
- Metode gabungan substitusi-eliminasi
Contoh:
![Picture3](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vV6jicXpriK6MR05tdBvJ2Qg9OC9HFrkJGnumJVAvnCqvlOBDdh97vczLBNH44Suj_sqDa5qRF9c1BAzOVgEqWDh5Psc4aRPLmHej9_XxLJTlbKTcxceZkQqX-Pgnu2cwHE8fUbiO_0A=s0-d)
Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0
![tabel](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_upV03GdnkYbFVmcC30weP7wKbJddkuIlXb2SqNlfzh7H4BQYtEWGiNVA5otJLs3lMfDnwPCoOM-GBztZoXaPMuzWNMuJ77wxs6um8yicrxlZX_65SmR4cf_J38wNazHXxQtLUC=s0-d)
![grafik_01](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tkmXllX69HCUB6XW8XGRnq5SkPgYOFuUhdzEqjlOz9g_t1OgMZeNnCMKlmZxyL1ww0fltymhc2QH59TXqHMy9CcTE57BSZ2l2_G03qcHpXVGRbnVCd6_GN5USCkgVoxYTg5V7QnePK8bUyh4hI3Q=s0-d)
Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x – y = 8
2x + 4y = 28 – (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
x + 2y = 14 + (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x – y = 8
2x + 4y = 28 – (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode grafik:
→ gambar grafik untuk tiap persamaan, cara paling mudah: masukkan x = 0, hitung nilai y untuk mendapatkan titik pertama; lalu masukkan y = 0, hitung nilai x untuk mendapatkan titik kedua
→ jika saat dimasukkan x = 0, didapatkan nilai y = 0, untuk mendapatkan titik kedua masukkan nilai x selain 0
Metode substitusi:
Dari persamaan 1: 2x – y = 8 → 2x – 8 = y
Masukkan ke persamaan 2:
x + 2y = 14
x + 2.(2x – 8 ) = 14
x + 4x – 16 = 14
5x = 14 + 16
5x = 30
x = 30/5 = 6
y = 2x – 8 = 2.6 – 8 = 12 – 8 = 4
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode eliminasi:
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x – y = 8
2x + 4y = 28 – (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Eliminasi y: (Persamaan 1 dikali 2)
4x – 2y = 16
x + 2y = 14 + (ditambah karena nilai y-nya positif dan negatif)
5x = 30
x = 30/5 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Metode gabungan (eliminasi-substitusi)
Eliminasi x: (Persamaan 2 dikali 2)
2x – y = 8
2x + 4y = 28 – (dikurangi karena nilai x-nya sama-sama positif)
–5y = –20
y = –20/–5 = 4
Masukkan ke salah satu persamaan, misalnya persamaan 1:
2x – y = 8
2x – 4 = 8
2x = 8 + 4
2x = 12
x = 12/2 = 6
Jadi penyelesaiannya: {(6, 4)}
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Bentuk umum:
![Picture4](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_u1VdJN5WwCP2t1Y6XMpZKXC6U6bZuQcypLFCcyWTjnN_TbiEX3Lk3S5qmL2UCrCd9rism7Wm-QSBkYe9ZTC9iMyw_mitFzSBhXDI7FoSBebQ408Lk5Zvp0TZqivHkJ9HsHDz-TSY6vdQ=s0-d)
dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2 dan d3 adalah bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)
Contoh:
![Picture5](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sVTd0NAYmvstQnLZmTOCKDNJ2x--dv1-THgdIy6RXxvXA4tkzHPRQGdeDdEtOj-YGID8NhEHUQXoyQNkBTm1PNpx6eJOuAFhyx-MWvA7Ynh7kew_mRt8aR2cECMvI80pv4BDgWWkFwpg=s0-d)
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z = 2 (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x + y + z = 6
3x – 2y + z = 2 (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y = 8 (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}
dimana a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2 dan d3 adalah bilangan real
Penyelesaian:
→ Eliminasi salah satu variabel dari sistem sehingga mernjadi SPLDV (misal: dari persamaan 1 dan 2 eliminasi x, persamaan 1 dan 3 atau 2 dan 3 juga eliminasi x)
Contoh:
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 2 (persamaan 1 dikali 2):
2x + 2y + 2z = 12
2x + 3y – 2z = 2 (+)
4x + 5y = 14 …… Persamaan 4
Eliminasi z dari persamaan 1 dan 3:
x + y + z = 6
3x – 2y + z = 2 (–)
–2x + 3y = 4 …… Persamaan 5
Eliminasi x dari persamaan 4 dan 5 (persamaan 5 dikali 2):
4x + 5y = 14
–4x + 6y = 8 (+)
11y = 22
y = 22/11 = 2
Masukkan y ke persamaan 5:
–2x + 3y = 4
–2x + 3.2 = 4
–2x + 6 = 4
–2x = 4 – 6
–2x = –2
x = –2/–2 = 1
Masukkan x dan y ke persamaan 1:
x + y + z = 6
1 + 2 + z = 6
z = 6 – 1 – 2 = 3
Jadi penyelesaiannya: {(1, 2, 3)}
Sistem Persamaan Linear Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
Bentuk Umum:
![Picture6](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_sd3EZzqVQCNYnfJCZzkTddO1XFJBg-X_pnnYAne8Z22IrFAtxiSdy2d6MDU2W-CZzLRP6HeVJ6ksyDl51f0ZikcaqEYhNCNRrex6o-XR78hM8BrCLIavoepWPWHPJhjCsXd5vGIIGleg=s0-d)
Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax2 + bx + c
ax2 + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = (b – m)2 – 4.a.(c – n)
Penyelesaian:
→ Substitusi persamaan 1 ke 2 diperoleh:
mx + n = ax2 + bx + c
ax2 + (b –m)x + (c – n) = 0
Nilai diskriminannya: D = b2 – 4.a.c = (b – m)2 – 4.a.(c – n)
- D > 0 → SPLKV mempunyai 2 akar (penyelesaian) nyata
- D = 0 → SPLKV mempunyai 1 akar (penyelesaian) nyata
- D < 0 → SPLKV tidak mempunyai akar (penyelesaian) nyata
→ Dapat juga diselesaikan dengan grafik
Contoh:
![Picture7](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vuCjL6jPY6sJ_dCECAdeZ6U5bhIP5llMU7HOAPh9I52BCODbnaPVmhnSQoGLQADI-KmDSomyTQhG24_lxoVuNmx-dY2oRsrTbNQ_XZITUReuYioJHzdJ01iqTwmlcNFPiQVKP3df7s=s0-d)
Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x2
x2 + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV
![grafik_02](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tgD7IV0s5F1r86aqdM47YjZQ--r9Gmq542KEyJltjOIGD8d2pQTqA1YyIV_Zj3Ru8vCd0qvJ8-pbauhk4x-TH7qzBLWR0AGseNFjSC_8AkxNzj1KKUKiB0mxC3e_i1wmWQeePCkaOKNGM6CpMGFQ=s0-d)
Contoh:
Substitusi persamaan 1 ke 2
2 – x = x2
x2 + x – 2 = 0
(x + 2).(x – 1) = 0
x + 2 = 0 atau x – 1 = 0
x = –2 atau x = 1
untuk x = –2 → y = 2 – (–2) = 2 + 2 = 4 (nilai x juga dapat dimasukkan ke persamaan 2)
untuk x = 1 → y = 2 – 1 = 1
Jadi penyelesaiannya: {(–2, 4), (1, 1)}
Grafik:
→ cara menggambar grafik fungsi kuadrat
→ cara menggambar garis: lihat di bagian SPLDV
Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
Bentuk umum:
![Picture8](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t_8nQE0ZxDhUjkgU4jRZ3qwkNQr4s_A6QyPWei4jwZxuq6dvo9VtDE9p3p60crCzW3HAwZxb5u2j_J1BvGU3zwjBJMVbOlNrdXseW9hxsD24TctLplL4QtzpTaCaEju53_GSPWV5Q=s0-d)
Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:
ax2 + bx + c = px2 + qx + r
(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0
Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
Penyelesaian:
→ Jika persamaan 1 = persamaan 2, maka SPK mempunyai banyak penyelesaian
→ Jika persamaan 1 ≠ persamaan 2, maka substitusi persamaan 1 ke 2, sehingga diperoleh:
ax2 + bx + c = px2 + qx + r
(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0
Hitung nilai Diskriminan: D = (b – q)2 – 4.(a – p).(c – r)
- D > 0 → SPK mempunyai 2 akar (penyelesaian) real
- D = 0 → SPK mempunyai 1 akar (penyelesaian) real
- D < 0 → SPK tidak mempunyai akar (penyelesaian) real
→ dapat juga diselesaikan dengan cara grafik
Contoh 1:
![Picture9](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_t3nG9J9OL3Ag_g8-oRLgxLQu9AXzn-f98UKZsb4M-E8H8WNf3oePsd10JzgOSaEoXy_WxE14zCjUIpvJL9nIzR4Zn2pLVewhj8prvfuNd4STr8PwTUXYol6t1sPl3fh3E1g14yfZs=s0-d)
Substitusi persamaan1 ke 2:
x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x – 5
x2 – 2x – 3 + x2 + 2x + 5 = 0
2x2 + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x2 + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b2 – 4.a.c = 02 – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik:
→ Cara menggambar grafik fungsi kuadrat:
![grafik_03](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vaBdzmAeTXfHyIPHpQPBcMEUEIIO-G7TxmoQfxZPRyu5FHIh198m9TG3oXBxDSHVfOT_eDoI8K7jRPqzmRY-nXQH5Aoce4gMzgTwaN1hR4zbHf5TkSiDKq0GLx_UJJxuA-dVvHbs-4ATTExdwP=s0-d)
Substitusi persamaan1 ke 2:
x2 – 2x – 3 = –x2 – 2x – 5
x2 – 2x – 3 + x2 + 2x + 5 = 0
2x2 + 2 = 0
Semua dibagi 2:
x2 + 1 = 0
Karena persamaan tidak dapat difaktorkan, hitung nilai D:
D = b2 – 4.a.c = 02 – 4.1.1 = a – 4
Karena D < 0 maka SPK tidak mempunya penyelesaian real
Grafik:
→ Cara menggambar grafik fungsi kuadrat:
Contoh 2:
![Picture10](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vbIbd5589uriijvNntT_YaqJBpBaP70uHmqHHpP1SbW4XquyK36MnL1BPbzfX8eKLpTy4HfjvoG9SxshuDct1vnzKSYmiYUsmc7quuamyWtxPPUSILvEcK6tZmLvx-v_H8eAb2h9Z2kA=s0-d)
Substitusi persamaan 1 ke 2:
x2 – 2x = –1/2 x2 + 4x – 6
Semua dikalikan 2:
2x2 – 4x = –x2 + 8x – 12
2x2 – 4x + x2 – 8x + 12 = 0
3x2 – 12x + 12 = 0
Semua dibagi 3:
x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2).(x – 2) = 0
x = 2 → y = x2 – 2x = 22 – 2.2 = 4 – 4 = 0
Jadi penyelesaiannya: {(2, 0)}
Grafik:
![grafik_04](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_tRulm-CVCb97w_0PweMOTxU0-vZe2G6gpqprHZDHN5bNF9wDqZnKR-St2DvkCxhGAn07eLPDGuS5vTh7kPH-Gb1HHM0_ZofrfXZBEzb3bepnuayKXCWAVRhE0dQw0Z1Lplp7ext_w6IPFXWfbasg=s0-d)
Substitusi persamaan 1 ke 2:
x2 – 2x = –1/2 x2 + 4x – 6
Semua dikalikan 2:
2x2 – 4x = –x2 + 8x – 12
2x2 – 4x + x2 – 8x + 12 = 0
3x2 – 12x + 12 = 0
Semua dibagi 3:
x2 – 4x + 4 = 0
(x – 2).(x – 2) = 0
x = 2 → y = x2 – 2x = 22 – 2.2 = 4 – 4 = 0
Jadi penyelesaiannya: {(2, 0)}
Grafik:
0 Response to "Materi Lengkap Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)"
Post a Comment