Materi Lengkap : Ruang Vektor Umum dan Subruang Vektor
Sunday, 7 October 2018
Add Comment
5.1 Ruang
Vektor Real
Definisi :
V adalah suatu himpunan takkosong dari
objek-objek sebarang, dimana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan
dan perkalian. Jika aksioma-aksioma berikut
dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan
semua skalar k dan l, maka kita menyebut objek-objek pada V
sebagai vektor.
- Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V
- u + v = v + u
- u + (v + w) = (u + v) + w
- Di dalam V terdapat suatu objek 0 yang disebut vektor nol (zero vector) untuk V, sedemikian rupa sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V
- Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
- Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku terdapat pada V
- k(u + v) =k u + kv
- (k + l)u = ku + lu
- k(lu) = (kl)u
- 1u = u
Teorema 5.1.1
a)
0u = 0
b)
k0 = 0
c)
(-1)u = -u
d) Jika ku = 0, maka k = 0
atau u = 0
Bukti (a)
Kita dapat menulis
0u + 0u = (0
+ 0) u
= 0u
Berdasarkan Aksioma 5, vektor 0u memiliki bentuk negatif, -0u.
Dengan menambahkan negatifnya ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan
[0u
+ 0u] + (-0u) = 0u + (-0u)
atau
0u
+ [0u + (-0u)] = 0u + (-0u)
0u
+ 0 = 0
0u
= 0
Bukti (B)
Kita dapat menulis
Kita dapat menulis
k0 + ku = k (0 + u)
= ku
Karena ku berada pada V, -ku berada pada V
Oleh karena itu :
(k0
+ ku) + (-ku)
= ku + (-ku)
k0
+ ( ku + (-ku) )= ku + (-ku)
k0
+ 0 = 0
k0 =0
Bukti (c)
Untuk
menunjukkan (-1)u = -u, maka harus diperlihatkan bahwa u +
(-1)u = 0.
u
+ (-1)u = 1u + (-1)u
=
(1 + (-1))u
=
0u
=0
5.2 SUBRUANG VEKTOR
Definisi
Suatu subhimpunan W
dari suatu ruang V disebut subruang (subspace) dari V jika W itu
sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar
yang didefinisikan pada V.
Teorema 5.2.1
Jika W adalah suatu
himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari sutu ruang vektor V,
jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi,
a)
Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka
u + v berada pada W
b)
Jika k adalah
skalar sebarang dan u adalah vektor sebarang pada W, maka ku berada pada W
Subruang dari Mnn
Dari teorema bahwa
jumlah dari dua matriks simetrik adalah matriks simetrik pula, dan suatu
perkalian skalar dari suatu mtriks simetrik adalah simetrik pula. Jadi,
himpunan matriks simetrik n x n adalah subruang dari vektor Mnn yang
terdiri dari semua matriks n x n. Demikian juga, himpunan matriks segitiga atas
n x n, himpunan matriks segitiga bawah n x n, dan himpunan matriks diagonal n x n semuanya membentuk subruang
dari Mnn , karena setiap himpunan ini tertutup terhadap penjumlahan
dan perkalian skalar.
Teorema 5.2.2
Jika
Ax = 0 adalah suatu sistem
linear homogen yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak
diketahui, maka himpunan vektor solusi adalah suatu subruang dari Rn .
Bukti
Misalkan
W adalah himpunan vektor solusi. Terdapat paling tidak terdapat satu vektor
pada W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W adalah tertutup terhadap
penjumlahan dan perkalian skalar, maka harus ditunjukkan bahwa jika x dan x’ adalah vektor
solusi sebarang dan k adalah skalar sebarang, maka x + x’ dan kx
adalah juga merupakan vektor solusi. Tetapi jika x dan x’ adalah
vektor solusi, maka
Ax
= 0 dan Ax’ = 0
di mana selanjutnya
A(x
+ x’) = Ax + Ax’ = 0 + 0 = 0
dan A(kx)
= kAx = k0 = 0
yang membuktikan bahwa x + x’ dan kx
adalah vektor solusi
Baca Juga:
Cara Mudah Menghitung Luas Persegi
Definisi
Suatu
vektor w disebut suatu kombinasi linear ( linear combination)
dari vektor-vektor V1,V2,….,
Vr jika dapat dinyatakan dalam bentuk
W = k1
v1 + k2 v2 +. . . + kr
vr
dimana k1, k2,. . . , kr
adalah skalar
Teorema 5.2.3
Jika v1,
v2,. . . , vr adalah vector-vektor pada
suatu ruang vector V, maka :
a)
Himpunan W yang
terdiri dari semua kombinasi linear v1, v2,.
. . , vr adalah suatu
subruang dari V
b)
W adalah
subruang terkecil dari V yang mengandung v1, v2,.
. . , vr dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang
mengandung v1, v2,. . . , vr pasti mengandung W.
Bukti (a)
Untuk menunjukkan bahwa W adalah subruang dari V, maka
harus dibuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar.
Terdapat paling tidak satu vector pada W, yaitu 0, karena 0 = 0v1
+ 0v2 +. . . + 0vr. Jika u dan v adalah
vector-vektor pada W, maka
u
= c1v1 + c2v2
+ … +crvr
dan
v
= k1v1 + k2v2
+ … +krvr
dimana
c1, c2,…, cr, k1,
k2,…, kr adalah skalar. Oleh karena itu,
u + v =(
c1 + k1) v1 + (c2
+ k2) v2 +…+(cr +
kr) vr
dan, untuk skalar sebarang k,
ku = (kc1)v1 + (kc2)v2
+…+ (kcr)vr
Jadi, u + v dan ku adalah
kombinasi- kombinasi linear dari v1, v2,. .
. , vr dan sebagai
konsekuensinya terletak pada W. Oleh karena itu, W adalah tertutup terhadap
penjumlahan dan perkalian scalar.
Bukti (b)
Setiap vector vi
adalah suatu kombinasi linear dari v1, v2,.
. . , vr karena dapat
dituliskan
vi = 0v1
0v2 +…+1vi
+ 0vr
Oleh karena itu,
subruang W mengandung setiap vector v1, v2,.
. . , vr . Misalkan W’
adalah subruang lain sebarang yang mengandung v1, v2,.
. . , vr . Karena W’ tertutup terhadap penjumlahan dan
perkalian scalar, W’ pasti mengandung semua kombinasi linear v1, v2,.
. . , vr . Jadi, W’ mengandung setiap vector dari W.
Definisi
Jika
S = { v1, v2,. . . , vr } adalah suatu himpunan vector-vektor
pada suatu ruang vector V, maka subruang W dan V yang terdiri dari semua
kombinasi linear vector-vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang (space
spanned) oleh v1, v2,.
. . , vr dan
vector-vektor v1, v2,. . . , vr
merentang (span) W.
Untuk menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vector-vektor pada
himpunan S = { v1, v2,. . . , vr } kita menuliskan
W = rentang (S) atau W = rentang { v1,
v2,. . . , vr
}
Teorema 5.2.4
Jika
S = {v1, v2,. . . , vr } dan S’ = {w1, w2,.
. . , wr } adalah dua
himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor V maka
rentang {v1, v2,. . . , vr } = rentang {w1, w2,.
. . , wr }
Jika dan hanya jika setiap vektor pada S adalah suatu
kombinasi linear dari vektor-vektor pada S’ dan setiap vektor pada S’ adalah
suatu kombinasi linear dari vektor-vektor
pada S.
Demkian Semoga Bermanfaat
0 Response to "Materi Lengkap : Ruang Vektor Umum dan Subruang Vektor"
Post a Comment