5.1 Ruang Vektor Real

Definisi :

V adalah suatu himpunan takkosong dari objek-objek sebarang, dimana dua operasinya didefinisikan, yaitu penjumlahan dan perkalian. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua objek u, v, w pada V dan semua skalar k dan l, maka kita menyebut objek-objek pada V sebagai vektor.

Jika u dan v adalah objek-objek pada V, maka u + v berada pada V
u + v = v + u
u + (v + w) = (u + v) + w
Di dalam V terdapat suatu objek 0 yang disebut vektor nol (zero vector) untuk V, sedemikian rupa sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u pada V
Untuk setiap u pada V, terdapat suatu objek –u pada V, yang disebut sebagai negatif dari u sedemikian rupa sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah objek sebarang pada V, maka ku terdapat pada V
k(u + v) =k u + kv
(k + l)u = ku + lu
k(lu) = (kl)u
1u = u

Teorema 5.1.1

a) 0u = 0

b) k0 = 0

c) (-1)u = -u

d) Jika ku = 0, maka k = 0 atau u = 0

Baca Juga:

Belajar Matematika : Konjungsi dan Disjungsi dalam Logika Matematika

Bukti (a)

Kita dapat menulis

0u + 0u = (0 + 0) u

= 0u

Berdasarkan Aksioma 5, vektor 0u memiliki bentuk negatif, -0u. Dengan menambahkan negatifnya ini pada kedua ruas di atas akan menghasilkan

[0u + 0u] + (-0u) = 0u + (-0u)

atau

0u + [0u + (-0u)] = 0u + (-0u)

0u + 0 = 0

0u = 0

Bukti (B)
Kita dapat menulis

k0 + ku = k (0 + u)

= ku

Karena ku berada pada V, -ku berada pada V

Oleh karena itu :

(k0 + ku) + (-ku) = ku + (-ku)

k0 + ( ku + (-ku) )= ku + (-ku)

k0 + 0 = 0

k0 =0

Bukti (c)

Untuk menunjukkan (-1)u = -u, maka harus diperlihatkan bahwa u + (-1)u = 0.

u + (-1)u = 1u + (-1)u

= (1 + (-1))u

= 0u

5.2 SUBRUANG VEKTOR

Definisi

Suatu subhimpunan W dari suatu ruang V disebut subruang (subspace) dari V jika W itu sendiri merupakan suatu ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar yang didefinisikan pada V.

Teorema 5.2.1

Jika W adalah suatu himpunan yang terdiri dari satu atau lebih vektor dari sutu ruang vektor V, jika dan hanya jika syarat-syarat berikut terpenuhi,

a) Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u + v berada pada W

b) Jika k adalah skalar sebarang dan u adalah vektor sebarang pada W, maka ku berada pada W

Subruang dari M_nn

Dari teorema bahwa jumlah dari dua matriks simetrik adalah matriks simetrik pula, dan suatu perkalian skalar dari suatu mtriks simetrik adalah simetrik pula. Jadi, himpunan matriks simetrik n x n adalah subruang dari vektor M_nn yang terdiri dari semua matriks n x n. Demikian juga, himpunan matriks segitiga atas n x n, himpunan matriks segitiga bawah n x n, dan himpunan matriks diagonal n x n semuanya membentuk subruang dari M_nn , karena setiap himpunan ini tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar.

Teorema 5.2.2

Jika Ax = 0 adalah suatu sistem linear homogen yang terdiri dari m persamaan dengan n faktor yang tidak diketahui, maka himpunan vektor solusi adalah suatu subruang dari Rⁿ.

Bukti

Misalkan W adalah himpunan vektor solusi. Terdapat paling tidak terdapat satu vektor pada W, yaitu 0. Untuk menunjukkan bahwa W adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian skalar, maka harus ditunjukkan bahwa jika x dan x’ adalah vektor solusi sebarang dan k adalah skalar sebarang, maka x + x’ dan kx adalah juga merupakan vektor solusi. Tetapi jika x dan x’ adalah vektor solusi, maka

Ax = 0 dan Ax’ = 0

di mana selanjutnya

A(x + x’) = Ax + Ax’ = 0 + 0 = 0

dan A(kx) = kAx = k0 = 0

yang membuktikan bahwa x + x’ dan kx adalah vektor solusi

Baca Juga:

Cara Mudah Menghitung Luas Persegi

Definisi

Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear ( linear combination) dari vektor-vektor V₁,V₂,…., V_r jika dapat dinyatakan dalam bentuk

W = k₁ v₁ + k₂ v₂ +. . . + k_r v_r

dimana k₁, k₂,. . . , k_r adalah skalar

Teorema 5.2.3

Jika v₁, v₂,. . . , v_radalah vector-vektor pada suatu ruang vector V, maka :

a) Himpunan W yang terdiri dari semua kombinasi linear v₁, v₂,. . . , v_radalah suatu subruang dari V

b) W adalah subruang terkecil dari V yang mengandung v₁, v₂,. . . , v_r dalam arti bahwa setiap subruang lain dari V yang mengandung v₁, v₂,. . . , v_r pasti mengandung W.

Bukti (a)

Untuk menunjukkan bahwa W adalah subruang dari V, maka harus dibuktikan bahwa W tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar. Terdapat paling tidak satu vector pada W, yaitu 0, karena 0 = 0v₁ + 0v₂ +. . . + 0v_r. Jika u dan v adalah vector-vektor pada W, maka

u = c₁v₁ + c₂v₂ + … +c_rv_r

dan

v = k₁v₁ + k₂v₂ + … +k_rv_r

dimana c₁, c₂,…, c_r, k₁, k₂,…, k_r adalah skalar. Oleh karena itu,

u + v₌( c₁ + k₁) v₁ + (c₂ + k₂) v₂ +…+(c_r + k_r) v_r

dan, untuk skalar sebarang k,

ku = (kc₁)v₁ + (kc₂)v₂ +…+ (kc_r)v_r

Jadi, u + v dan ku adalah kombinasi- kombinasi linear dari v₁, v₂,. . . , v_rdan sebagai konsekuensinya terletak pada W. Oleh karena itu, W adalah tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar.

Bukti (b)

Setiap vector v_i adalah suatu kombinasi linear dari v₁, v₂,. . . , v_rkarena dapat dituliskan

v_i = 0v₁ 0v₂ +…+1v_i + 0v_r

Oleh karena itu, subruang W mengandung setiap vector v₁, v₂,. . . , v_r. Misalkan W’ adalah subruang lain sebarang yang mengandung v₁, v₂,. . . , v_r. Karena W’ tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian scalar, W’ pasti mengandung semua kombinasi linear v₁, v₂,. . . , v_r. Jadi, W’ mengandung setiap vector dari W.

Definisi

Jika S = { v₁, v₂,. . . , v_r} adalah suatu himpunan vector-vektor pada suatu ruang vector V, maka subruang W dan V yang terdiri dari semua kombinasi linear vector-vektor pada S disebut sebagai ruang yang direntang (space spanned) oleh v₁, v₂,. . . , v_r dan vector-vektor v₁, v₂,. . . , v_r merentang (span) W. Untuk menyatakan bahwa W adalah ruang yang direntang oleh vector-vektor pada himpunan S = { v₁, v₂,. . . , v_r} kita menuliskan

W = rentang (S) atau W = rentang { v₁, v₂,. . . , v_r}

Teorema 5.2.4

Jika S = {v₁, v₂,. . . , v_r} dan S’ = {w₁, w₂,. . . , w_r} adalah dua himpunan vektor-vektor pada suatu ruang vektor V maka

rentang {v₁, v₂,. . . , v_r} = rentang {w₁, w₂,. . . , w_r}

Jika dan hanya jika setiap vektor pada S adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada S’ dan setiap vektor pada S’ adalah suatu kombinasi linear dari vektor-vektor pada S.

Demkian Semoga Bermanfaat