Materi Matematika : Turunan dan Integral

Turunan fungsi f ‘ (x) didefinisikan sebagai :

$f' (x) = \underset{h\rightarrow 0}{lim}\:\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Rumus-rumus Turunan :
untuk a = konstanta

$f(x) = ax^n$ maka $f'(x) = an.x^{n-1}$
$f(x) = a$ maka $f'(x) = 0$
$f(x) = x$ maka $f'(x) = 1$

jika U = u(x) dan V = v(x) adalah suatu fungsi

$f(x) = U + V$ maka $f'(x) = U' + V'$
$f(x) = U - V$ maka $f'(x) = U' - V'$
$f(x) = U\times V$ maka $f'(x) = U'.V + V'.U$
$f(x) = \frac UV$ maka $f'(x) = \frac {U'.V - V'.U}{V^2}$
$f(x) = U^n$ maka $f'(x) = n.U^{n-1}.U'$ dinamakan aturan rantai

Jangan sampai lupa yah, setiap fungsi yang hendak diturunkan, pastikan dinyatakan dalam bentuk perpangkatan terlebih dulu, let’s cekidot …
Contoh dan pembahasan turunan fungsi:

Tentukan turunan pertama dari :

$f(x) = 2x^5$
Jawab :
$\begin{array}{rcl} f'(x) & = & 2.5.x^{5-1}\\ & = & 10x^4\end{array}$
$f(x) = \frac 3x$
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi $f(x) = 3.x^{-1}$

* maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & 3.(-1).x^{-1-1}\\ & = & (-3).x^{-2}\\ & = & -\frac{3}{x^2}\end{align*}$
$f(x) = \sqrt{7x}$
Jawab :
* nyatakan dalam bentuk pangkat terlebih dulu menjadi $f(x) = \sqrt7 .\;x^{\frac{1}{2}}$

* maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & \sqrt 7. \frac 12.x^{\frac 12-1}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7.x^{-\frac{1}{2}}\\ & = & \frac 12. \sqrt 7. \frac{1}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt 7}{2\sqrt x}.\frac{\sqrt x}{\sqrt x}\\ & = & \frac{\sqrt{7x}}{2x}\end{align*}$
$f(x) = \frac{3x-2}{x+1}$
Jawab :
* kita misalkan $\begin{array}{rcl} U=3x-2 & maka & U'=3\\ V=x+1 & maka & V'=1\end{array}$

* maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & \frac{U'.V-V'.U}{V^2}\\ & = & \frac{(3)(x+1)-(1)(3x-2)}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{3x+3-3x+2}{(x+1)^2}\\ & = & \frac{5}{(x+1)^2}\end{align*}$
$f(x) = (3x^2 -5)^4$
Jawab :
* kita misalkan $U = 3x^2 -5\: maka U'=6x$ dan $n = 4$

* lalu kita pakai $f'(x) = n.U^{n-1}.U'$ ( aturan rantai )

$\begin{align*}f'(x) & = & 4.(3x^2-5)^{4-1}.6x\\ & = & 24x(3x^2-5)^3\end{align*}$

Soal2
1. Fungsi f ditentukan oleh $f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}\: ;\:x\neq-4$ dan f ‘ adalah turunan pertama dari f. Maka nilai dari f ‘(1) = ….

a. $x^2+2x+3$

b. $\frac 12x^2+2x-3$

c. $\frac 12x^2+2x+3$

d. $\frac 14x^2+2x-3$

e. $\frac 12x^2+2x+3$

jawab:

$f(x)=\frac{x^2+8x+12}{x+4}$

$\begin{array}{rcl} misalkan:u=x^2+8x+12 & maka & u'=2x+8 \\ v=x+4 & maka & v'=1 \end{array}$

$\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(2x + 8)(x + 4) - (1)(x^2 + 8x + 12)}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {2x^2 + 8x + 8x + 32 - x^2 - 8x - 12}{(x + 4)^2}\\ & = & \frac {x^2 + 8x + 20}{(x + 4)^2}\\ f'(1) & = & \frac {(1)^2+8(1)+20}{(1+4)^2}\\ & = & \frac {29}{25}\:jawaban\;(D)\end{align*}$ $

2. Turunan pertama fungsi $f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}\:;\:x\neq-1$ adalah f ‘(x) = ….

a. $\frac{1}{(-x-1)^2}$

b. $\frac{5}{(-x-1)^2}$

c. $\frac{-7}{(-x-1)^2}$

d. $\frac{1}{(4x-3)^2}$

e. $\frac{7}{(4x-3)^2}$

jawab:

$f(x)= \frac{4x-3}{-x-1}$

$\begin{array}{rcl} misalkan:u=4x-3 & maka & u'=4 \\ v=-x-1 & maka & v'= -1 \end{array}$

$\begin{align*} maka f'(x) & = & \frac {u'.v - v'.u}{v^2}\\ & = & \frac {(4)(-x-1) - (-1)(4x-3)}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-4x-4+4x-3}{(-x-1)^2}\\ & = & \frac {-7}{(-x -1)^2}\end{align*}$

3. Diketahui $f(x)=(3x+4)^4$ dan f ‘(x) adalah turunan pertama dari f(x). Maka nilai dari f ‘(-1) = ….

a. 4

b. 12

c. 16

d. 84

e. 112

jawab:

$f(x)=(3x+4)^4$

misalkan u = 3x + 4 maka u’ = 3 dan n = 4

gunakan aturan rantai, maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & n.u^{n-1}. u'\\ & = & 4.(3x + 4)^{4-1}.3\\ & = & 12(3x+4)^3\\ f'(-1) & = & 12(3(-1)+4)^3\\ & = & 12(-3+4)^3\\ & = & 12\:jawaban(B)\end{align*}$

4. Turunan pertama fungsi $f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2}$ adalah f ‘(x) = ….

a. $f(x)=x-3+\frac{4}{x^2}$

b. $f(x)=x-3+\frac{4}{x^3}$

c. $f(x)=2x-3-\frac{8}{x}$

d. $f(x)=2x-3-\frac{4}{x^3}$

e. $f(x)=2x-3-\frac{8}{x^3}$

jawab:

$f(x)=x^2-3x+\frac{4}{x^2}$ nyatakan dalam bentuk pangkat

$f(x)=x^2-3x+4.x^{-2}$

$\begin{align*}f'(x) & = & 2x - 3+4(-2).x^{-2-1}\\ & = & 2x-3-8x^{-3}\\ & = & 2x-3-\frac{8}{x^3}\:jawaban(E)\end{align*}$

5. Turunan pertama dari $f(x)=6x\sqrt x$ adalah f ‘(x) = …

a. $3 \sqrt x$

b. $5 \sqrt x$

c. $6\sqrt x$

d. $9\sqrt x$

e. $12\sqrt x$

jawab:

$f(x)=6x \sqrt x$ nyatakan dalam bentuk pangkat

$f(x)=6x^{\frac 32}$

maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & 6.(\frac 32).x^{\frac 32 -1}\\ & = & 9.x^{\frac 12}\\ & = & 9\sqrt x\:jawaban(D)\end{align*}$

Jika $g(x)=\left ( 5-3x \right )^{10}$ maka g ‘(2) = …. A. -30
B. -10
C. 30
D. 60
E. 90

Jawab :

* misal maka

* kita pakai aturan rantai sehingga :

$\begin{align*}g'(x) & = & {\color{Red} n.u^{n-1}.u'}\\ & = & 10.(5-3x)^{10-1}.(-3)\\ & = & (-30)(5-3x)^9\\g'(2) & = & (-30)(5-3.2)^9\\ & = & (-30)(-1)^9\\ & = & 30 \end{align*}$
Jika $f(x)=x^3-\frac{x}{x^2-1}$ maka f ‘(x) = … A. $3x^2+\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2}$
B. $3x^2-\frac{x^2-1}{(x^2-1)^2}$
C. $x^2+\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}$
D. $x^2-\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}$
E. $3x^2-\frac{3x+1}{(x^2-1)^2}$

Jawab :

* terdapat dua suku yang harus diturunkan, kita turunkan suku yang pertama secara langsung dan suku yang kedua menggunakan rumus ${\color{Red} y=\frac uv}\;\;\;maka\;\;\;{\color{Red} y'=\frac{u'v-v'u}{v^2}}$

* perhatikan suku kedua misalkan :

$\begin{array}{lcl}u=x & \Leftrightarrow & u'=1\\v=x^2-1 & \Leftrightarrow & v'=2x \end{array}$

maka

$\begin{align*}f(x) & = & x^3-\frac{x}{x^2-1}\\f'(x) & = & 3x^2-\left [ \frac{u'.v-v'.u}{v^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{1.(x^2-1)-2x(x)}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2-\left [ \frac{-x^2-1}{(x^2-1)^2} \right ]\\ & = & 3x^2+\frac{x^2+1}{(x^2-1)^2} \end{align*}$
Turunan pertama dari    adalah ….. A.
B.
C.
D.
E.

Jawab :

* untuk model soal yang seperti ini kita kalikan pembilangnya sehingga menjadi bentuk kuadrat, didapat $y=\frac{x^2+3x+2}{x+3}$ baru kita gunakan ${\color{Red} y=\frac uv}\;\;\;maka\;\;\;{\color{Red} y'=\frac{u'v-v'u}{v^2}}$

* misalkan

$\begin{array}{lcl}u=x^2+3x+2 & \Leftrightarrow & u'=2x+3\\v=x+3 & \Leftrightarrow & v'=1 \end{array}$

* maka :

$\begin{align*}y' & = & \frac{u'.v-v'u}{v^2}\\ & = & \frac{(2x+3)(x+3)-(1)(x^2+3x+2)}{(x+3)^2}\\ & = & \frac{2x^2+9x+9-x^2-3x-2}{(x+3)^2}\\ & = & \frac{x^2+6x+7}{x^2+6x+9} \end{align*}$
Diketahui $y=\sqrt{3-4x}$ maka $\frac{\partial y}{\partial x}$ = …. A. $\frac{1}{2\sqrt{3-4x}}$
B. $\frac{1}{\sqrt{3-4x}}$
C. $\frac{2}{\sqrt{3-4x}}$
D. $\frac{-1}{\sqrt{3-4x}}$
E. $\frac{-2}{\sqrt{3-4x}}$

Jawab :

* nyatakan y dalam bentuk pangkat menjadi $y=\left ( 3-4x \right )^{\frac 12}$

* nah…ingat kita pakai aturan rantai

$\begin{align*}y' & = & n.u^{n-1}.u'\\ & = & \frac 12.(3-4x)^{\frac{1}{2}-1}.(-4)\\ & = & (-2)(3-4x)^{-\frac 12}\\ & = & \frac{-2}{\sqrt{3-4x}}\end{align*}$
Jika maka f ‘ (1) = … A. -4
B. -2
C. -1
D. 0
E. $\frac{1}{2}$

Jawab :

* masih ingatkah materi komposisi fungsi ….???
* kita misalkan

$\begin{align*}{\color{Blue} 3+2x} & = & {\color{Blue} y}\\ {\color{Red} x} & = & {\color{Red} \frac{y-3}{2}}\end{align*}$

*subitusikan ke menjadi :

$\begin{align*}f({\color{Blue} 3+2x}) & = & 4-2{\color{Red} x}+{\color{Red} x}^2 \\f({\color{Blue} y}) & = & 4-2\left ( {\color{Red} \frac{y-3}{2}} \right )+\left ( {\color{Red} \frac{y-3}{2}} \right )^2\\f(y) & = & 4-y+6+\left ( \frac{y^2-6y+9}{4} \right )\\ & = & \frac{16-4y+12+y^2-6y+9}{4}\\f(y) & = & \frac{y^2-10y+37}{4}\\f(x) & = & \frac 14x^2-\frac{10}{4}x+\frac{37}{4}\end{align*}$

* baru kita turunkan tiap sukunya

$\begin{align*}f(x) & = & \frac 14x^2-\frac{10}{4}x+\frac{37}{4}\\f'(x) & = & \frac 12x^2-\frac{10}{4}\\f'(1) & = & \frac 12-\frac 52\\f'(1) & = & -\frac 42\\ & = & -2\end{align*}$

Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) = …..

35 sin (5 – 3x)

- 15 sin (5 – 3x)

sin (5 – 3x)

- 21 sin (5 – 3x)

- 35 sin (5 – 3x)

* ingat $f(x) = {\color{Red} a.cos\:(bx+c)}\;\;\;\;maka \;\;\;\;f'(x)= {\color{Red} -ab.sin\:(bx+c)}$

* maka:

$\begin{align*}f(x) & = & 7 cos (5 - 3x)\\f'(x) & = & -7.(-3).sin(5-3x)\\ & = & 21\;sin(5-3x) \end{align*}$

Jika f ‘(x) adalah turunan dari f(x) dan jika f(x) = ( 3x – 2 ) sin (2x + 1) maka f ‘ (x) adalah …

* $f (x) = {\color{Red} (3x-2)}\;{\color{DarkGreen} sin( 2x + 1 )}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 3x-2} & maka & u'=3 \\v={\color{DarkGreen} sin(2x+1)} & maka & v'=2\;cos(2x+1) \end{array}$

* ingat rumus turunan perkalian dua fungsi :

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 3.{\color{DarkGreen} sin(2x+1)}+2cos(2x+1).({\color{Red} 3x-2})\\ & = & 3\;sin(2x+1)+(6x-4)\;cos(2x+1) \end{array}$

Turunan pertama fungsi f (x) = 5 sin x cos x adalah f ‘ (x) = …

* $f (x) = {\color{Red} 5\;sin\;x}\;{\color{DarkGreen} cos\;x}$ kita misalkan terlebih dulu

$\begin{array}{lcl}{\color{Red} u}={\color{Red} 5sin\;x} & maka & u'=5cos\;x\\v={\color{DarkGreen} cos\;x} & maka & v'=-sin\;x \end{array}$

* ingat rumus turunan

$\begin{array}{rcl}f'(x) & = & u'.v+v'.u\\ & = & 5cos\;x.{\color{DarkGreen} cos\;x}+(-sin\;x).({\color{Red} 5sin\;x})\\ & = & 5\;cos^2x-5\;sin^2x\\ & = & 5(cos^2x-sin^2x)\\ & = & 5.cos\;2x \end{array}$

eitttts…..tapi cara yang satu ini lebih simple…kita bisa pakai neh,cekidot…

* ingat bahwa $sin\;2x=2\;sin\;x.cos\;x$

* sehingga :

$\begin{align*}f(x) & = & 5\;sin\;x\;cos\;x\\ & = & \frac{5}{2}.{\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}\\ & = & \frac 52.sin\;2x \end{align*}$

* maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & \frac 52.2.cos\;2x\\ & = & 5\;cos\;2x\end{align*}$

Dengan hasil yang sama namun lebih cepat dalam pengerjaannya…silahkan pilih cara yang lebih disukai…

Jika $f(x)=sin^2 \left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )$ , maka nilai dari f ‘ (0) = …..

$2\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

$12\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$

* perlu diingat bahwa :

$\begin{align*}f(x) & = & sin^2\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )\\ & = & \left ( {\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )} \right )^2 \end{align*}$

* nah, baru kita misalkan ${\color{Red} u}={\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )}\;\;maka\;\;u'=2\;cos\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )$

* fungsi menjadi f(x)=u^2

baru pakai aturan rantai $f'(x) & = & n.u^{n-1}.u'$

$\begin{align*}f'(x) & = & 2.u.u'\\ & = & 2.{\color{Red} sin\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )}.2cos\left ( 2x+\frac{\pi}{6} \right )\\f'(0) & = & 4.sin\left ( 2.0+\frac{\pi}{6} \right ).cos\left ( 2.0+\frac{\pi}{6} \right )\\ & = & 4.sin\left ( \frac{\pi}{6} \right ).cos\left ( \frac{\pi}{6} \right )\\ & = & 4.\frac 12.\frac 12\sqrt3\\ & = & \sqrt3\end{align*}$

Turunan pertama dari adalah f ’ (x) =……

$8\;sin^3(3-2x)\;cos(6-4x)$

$8\;sin(3-2x)\;sin(6-4x)$

$4\;sin^3(3-2x)\;cos(3-2x)$

$4\;sin^2(3-2x)\;sin(6-4x)$

$8\;sin(3-2x)\;sin(6-4x)$

* pengerjaannya hampir sama dengan soal no.4 kita misalkan terlebih dulu

$u={\color{Red} sin(3-2x)}\;\;\;maka\;\;\;\;u'=-2.cos(3-2x)$

* didapat

kita pakai aturan rantai $f'(x)=n.u^{n-1}.u'$ maka :

$\begin{align*}f'(x) & = & 4.u^3.u'\\ & = & 4.{\color{Red} sin}^3{\color{Red} (3-2x)}.(-2)cos(3-2x)\\ & = & -8.sin^3(3-2x).cos(3-2x) \end{align*}$

ups….saat kita cek di pilgan ternyata jawaban tersebut tidak ada pilihannya, so lanjut ke next step ….

* ingat bahwa ${\color{DarkBlue} 2.sin\;x.cos\;x}={\color{DarkBlue} sin\;2x}$

$\begin{align*}f'(x) & = &-8.sin^3(3-2x).cos(3-2x)\\ & = & -4.{\color{DarkBlue} 2.sin(3-2x).cos(3-2x)}.sin^2(3-2x)\\ & = & -4.{\color{DarkBlue} sin\;2(3-2x)}.sin^2(3-2x)\\ & = & -4.sin(6-4x).sin^2(3-2x)\\ & = & -4\;sin^2(3-2x)\;sin(3-4x) \end{align*}$

Materi Matematika : Turunan dan Integral

0 Response to "Materi Matematika : Turunan dan Integral"

Post a Comment

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel