Materi Matematika: Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

Persamaan Dasar

sin x = sin a                  

x = a + k.360° atau x = (180 – a) + k.360° (kuadran I atau II)

cos x = cos a

x = a + k.360° atau x = –a + k.360° (kuadran I atau IV)

tan x = tan a

x = a + k.180

*k = bilangan bulat
Catatan:
Jika ada persamaan cos x = sin a, cot x = tan a, sec x = cosec a, dan sebaliknya, salah satu diubah menjadi (90 – a)°,
contoh: cos x = sin a → cos x = cos (90 – a)°
Contoh:

• Tentukan HP (Himpunan Penyelesaian) dari 2 cos x – √3 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360°

2 cos x = √3

cos x = ½ √3

cos x = cos 30°

x = 30° + k.360°              atau                        x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                                                 x = 150° + k.360°

k = 1 → x = 390° (tidak memenuhi)         k = 0 → x = 150°

Jadi HP = {30°, 150°}

• Tentukan HP dari tan (60 – ½ x)° = cot (x + 120)° untuk 0 ≤ x ≤ 360°

tan (60 – ½ x)° = tan (90 – (x + 120))°

tan (60 – ½ x)° = tan (–x – 30)°

60° – ½ x = –x – 30° + k.180°

x – ½ x = –30° – 60° + k.180°

½ x = –90° + k.180°

x = –180° + k.360°

k = 1 → x = 180°

Jadi HP = {180°}

Persamaan bentuk a cos nx + b sin nx

a cos nx + b sin nx diubah menjadi k cos(nx – α)
dimana
Selanjutnya diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan dasar cos x = cos a
Penentuan letak α:

• Jika a +, b + → α di kuadran I
• Jika a –, b + → α di kuadran II
• Jika a –, b – → α di kuadran III
• Jika a +, b – → α di kuadran IV

Untuk persamaan a cos nx + b sin nx = c, syarat agar persamaan ini dapat diselesaikan:
Dan agar persamaan ini tidak dapat diselesaikan:

Persamaan bentuk a cos²x + b sin x.cos x + c sin²x = d

Caranya, lakukan dengan mengubah unsur-unsurnya seperti berikut ini:
Selanjutnya persamaan diselesaikan seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Persamaan bentuk a(cos x ± sin x) + b sin x.cos x + c = 0

Caranya:
Misalkan (cos x ± sin x) = p
maka
(cos x ± sin x)² = p²
cos²x ± 2 sin x.cos x + sin²x = p²
1 ± 2 sin x.cos x = p²
± 2 sin x.cos x = p² – 1
Sehingga 2 sin x.cos x = ± ½ (p² – 1)
Sehingga persamaan di atas akan menjadi persamaan kuadrat:
a.p ± ½ b(p² – 1) + c = 0
Selesaikan dengan cara pemfaktoran atau rumus abc untuk mendapatkan nilai p, kemudian persamaan cos x ± sin x = p dapat diselesaikan dengan cara seperti menyelesaikan persamaan a cos nx + b sin nx = c

Nilai ekstrim y = a cos nx + b sin nx + c

 

Pertidaksamaan Trigonometri

→ mencari harga nol sama dengan cara menyelesaikan persamaan trigonometri
→ diselesaikan dengan menggunakan garis bilangan
Contoh:
Selesaikan sin 2x < cos x  untuk 0 ≤ x ≤ 360°
Cara:
sin 2x – cos x < 0
2 sin x.cos x – cos x < 0
cos x.(2 sin x – 1) < 0
harga nol:

• cos x = 0

cos x = cos 90°

x = 90° + k.360°      atau      x = –90° + k.360°

k = 0 → x = 90°                        k = 1 → x = 270°

• 2 sin x – 1 = 0

2 sin x = 1

sin x = ½

sin x = sin 30°

x = 30° + k.360°        atau      x = (180 – 30)° + k.360°

k = 0 → x = 30°                         x = 150° + k.360°

                                                           k = 0 → x = 150°

Memberi tanda (+) dan (-) pada garis bilangan:
Jika x = 180° maka sin 2.180° – cos 180° = sin 360° – cos 180° = 0 – (–1) = 1 (+)
Jadi garis bilangannya:

karena yang diminta kurang dari (<) 0, maka yang diarsir adalah bagian-bagian yang bertanda (-)
Sehingga HP-nya: {0° ≤ x < 30° atau 90° < x < 150° atau 270° < x ≤ 360°} 

Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Trigonometri

 Rumus-rumus Dasar Persamaan Trigonometri
1. sin x = sin α 
         x₁ = α + k . 360⁰ atau x₂ = (180⁰ - α ) + k . 360⁰
2. cos x = cos α 
          x = ± α + k . 360⁰
3. tan x = tan α
          x = α  + k . 180⁰
dengan k ∈ bilangan bulat

Persamaan trigonometri berbentuk a cos x + b sin x = c dapat diselesaikan dengan terlebih dahulu mengubah bentuk persamaan itu menjadi bentuk: 
k cos (x - α ) = c  dengan k = a2+b2−−−−−−√

a cos x + b sin x = k cos (x - α) = c

dengan  k = a2+b2−−−−−−√ dan tan α = b/a

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c dapat diselesaikan adalah:

c²  ≤ a² + b²

Pertidaksamaan trigonometri adalah sutu pertidaksamaan yang memuat fungsi-fungsi trigonometri.

Himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan trigonometri akan mudah ditentukan bila menggunakan sketsa grafik fungsi trigonometri.

Contoh ❶ 

Himpunan penyelesaian dari pesamaan:

2sin x⁰ - √3 = 0, 0⁰ ≤ x ≤ 2π⁰ adalah .....

A. {π/3 , 2π/3}

B. {π/3 , π/6}

C. {π/3 , π/2}

D. {π/3 , 5π/6}

E. {2π/3 , 5π/6}

Pembahasan:

2sin x⁰ - √3 = 0

2sin x⁰ = √3

  sin x⁰ = (1/2)√3

  sin x⁰ = sin π/3⁰

       x₁ = π/3 + k . 360 atau x₂ = (π - π/3) + k . 360

Untuk k = 0 maka:

       x₁ = π/3

       x₂ = 2π/3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {π/3 , 2π/3} -----> Jawaban: A

Contoh ❷ 

Diketahui persamaan 2sin² x⁰ + 5sin x⁰ - 3 = 0 dan -π/2 < x < π/2. Nilai cos x =...

A. −123–√

B. −12

C. 12

D. 122–√

E. 123–√ 

Pembahasan:

Misalkan sin x = y dan -π/2 < x < π/2 ⇛ Kuadran I dan kuadran IV

2sin² x + 5sin x - 3 = 0

⟺ 2y² x + 5y - 3 = 0
⟺ (2y - 1)(y + 3) = 0
⟺ y = 1/2 atau y = -3
⟺ sin x = 1/2 atau sin x = -3 (tidak ada x yang memenuhi)
     sin x = sin π/6
          x = π/6 + k . 360 atau x = (π - π/6) + k . 360
     Untuk k = 0 maka x = π/6

Jadi, cos π/6 = 123–√ -----> Jawaban: E

Contoh ❸

Bentuk (√3 sin x⁰ - cos x⁰) dapat diubah menjadi bentuk k cos (x - α)⁰ yaitu.....

A. 2cos (x - 30)⁰

B. 2cos (x - 60)⁰

C. 2cos (x - 120)⁰

D. 2cos (x - 150)⁰

E. 2cos (x - 210)⁰

Pembahasan:

a cos x⁰ + b sin x⁰ = k cos (x - α)⁰, dengan k = a2+b2−−−−−−√ dan tan α=b/a

Diketahui √3 sin x⁰ - cos x⁰, berarti a = -1 dan b = √3

k = a2+b2−−−−−−√ = (−1)2+(3–√)2−−−−−−−−−−−−√ = 2

tan α = b/a = (√3)/(-1) = -√3

      α = 120⁰ (kuadran II, karena sinus positif dan kosinus negatif)

Jadi, bentuk √3 sin x⁰ - cos x⁰ = 2cos (x - 120)⁰ -----> Jawaban: C 

Contoh ❹

Tentukan batas-batas nilai p agar persamaan 2p cos x + (p + 1)sin x = 3p+1 dapat terselesaikan.

A. p ≥ -1

B. -1 < p < 0

C. -1 ≤ p ≤ 0

D. p ≤ -1 atau p ≥ 0

E. 0 < p < 1

Pembahasan: 

Agar persamaan 2p cos x + (p + 1)sin x = 3p + 1 dapat diselesaikan, maka:

(3p + 1)²      ≤ (2p)² + (p + 1)²

9p² + 6p + 1 ≤ 4p² + p² + 2p + 1

9p² + 6p + 1 ≤ 5p² + 2p + 1

4p² + 4p       ≤ 0

4p(p + 1)      ≤ 0

 

------> Jawaban: C

Contoh ❺

Himpunan penyelesaian persamaan sin x⁰ - √3 cos x⁰ = √2; 0⁰ < x < 360⁰ adalah..
A. {15, 285}
B. {75, 165}
C. {105, 195}
D. {165, 225}
E. {195, 285}
Pembahasan:
sin x - √3 cos x = √2 ; 0 < x < 360
k = 12+(−3−−−√)2−−−−−−−−−−√ = √4 = 2
tan α = 1/(-√3) = (-1/3)√3
      α = 150⁰ (kuadran II)
Persamaannya diubah menjadi bentuk: 
2 cos (x - 150) = √2
cos (x - 150) = (1/2)√2
cos (x - 150)⁰ = cos 45⁰
      (x - 150)⁰ = 45⁰ + k . 360 
                 x⁰ = 195⁰ + k . 360⁰
untuk k = 0, maka x⁰ = 195⁰
atau 
      (x - 150)⁰ = -45⁰ + k . 360⁰
                 x⁰ = 105⁰ + k . 360⁰
untuk k = 0, maka x⁰ = 105⁰
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {105⁰, 195⁰}---> Jawaban: C

Contoh ❻ 
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos 2x⁰ - cos x⁰ > 0 untuk 0⁰ ≤ x ≤ 360⁰ adalah...
A. {x| 120⁰ < x < 240⁰}
B. {x| 0⁰ < x < 120⁰}
C. {x| 240⁰ < x < 360⁰}
D. {x| 120⁰ < x < 360⁰}
E. {x| 0⁰ < x < 210⁰}
Pembahasan:
cos 2x - cos x > 0
⟺ (2cos² x⁰ - 1) - cos x⁰ > 0
⟺ 2cos² x⁰ - cos x⁰ - 1 > 0
Misalkan cos x⁰ = y
Pembuat nol:
2y² - y - 1 = 0
(2y + 1)(y - 1) = 0
  y = -1/2 atau y = 1
Garis bilangan:

cos x⁰ < -1/2 atau cos x⁰ > 1(tidak memenuhi)
Sketsa grafik fungsi y = cos x untuk 0⁰ < x < 360⁰ adalah

 Daerah yang memenuhi cos x⁰ < -1/2 terletak dalam interval 120⁰ < x < 240⁰. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x| 120⁰ < x < 240⁰}
----> Jawaban: A

Share this post