Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur) dan Contohnya

kampungilmu.web.id - Pada kesempatan ini, akan membahas tentang barisan dan deret geometri dimana sebelumnya telah dibahas tentang barisan dan deret aritmetika beserta contoh soalnya. Apa itu barisan geometri?

Barisan Geometri

Suatu barisan U₁ , U₂ , U₃ ,..., U_n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan "r". Jadi:

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah

U₁ = a

U₂ = ar

U₃ = ar²

...

U_n = ar^n-1

Bentuk U_n = ar^n-1 merupakan bentuk umum barisan geometri.

Contoh :

1. Diketahui barisan geometri : 2, 4, 8, 16, ... Tentukan suku pertama, rasio, rumus suku-n dan suku ke-7.

Jawab :

Suku pertama (U₁) = a = 2

Rasio (r) = 2

Rumus suku ke-n : U_n = ar^n-1

= 2.2^n-1

= 2ⁿ

Suku ke-7 (U₇) = 2⁷ = 128

2. Diketahui suatu barisan geometri dengan a = 128 dan r = ¼. Tuliskan barisan geometri tersebut hingga lima suku pertamanya.

Jawab :

U₁ = a = 128

U₂ = ar =128.1/4 = 32

U₃ = U₂r = 32.1/4 = 8

U₄ = U₃r = 8.1/4= 2

U₅ = U₄r = 2.1/4= 1/2

Jadi barisan geometri tersebut adalah 128, 32, 8, 2, 1/2

Suku Tengah Barisan Geometri :

Misalkan suatu barisan geometri dengan banyak suku ganjil, sebesar n = 2t – 1 dengan t ≥ 2. Suku tengah barisan geometri tersebut adalah suku ke – t dan ditentukan dengan rumus

Contoh :

Diberikan barisan geometri 2, 4, 8, ..., 2048. Tentukan :

a. Suku tengahnya.

b. Suku ke berapakah suku tengahnya.

c. Banyak suku barisan tersebut.

Jawab :

a. Misal banyak suku barisan tersebut adalah 2t – 1, a = 2, r = 2 dan U_n = U_{2t
– 1}= 2048

Suku tengahnya Ut = 64

b. U_t = 64

a.r^{t – 1} = 64

2.2^{t – 1} = 64

2^t = 2⁶

t = 6 Jadi suku tengah merupakan suku ke – 6.

c. Banyak suku barisan tersebut adalah 2t – 1 = 2.6 – 1 = 11.

Sisipan Barisan Geometri :

Di antara dua bilangan x dan y disisipkan k buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Rasio barisan bilangan yang terbentuk adalah

Contoh :

Di antara bilangan 3 dan 2187 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan – bilangan semula dengan bilangan – bilangan yang disisipkan membentuk barisan geometri. Tentukan rasio dari barisan yang terbentuk.

Jawab :

Rasio r = 3

Deret Geometri (Deret Ukur)

Arti dari deret geometri adalah penjumlahan dari semua suku-suku barisan geometri secara berurutan. Sehingga bentuk umum dari deret geometri adalah:

a + ar + ar²+ ... + ar^n-1

Jumlah n suku pertama deret geometri (S_n ) dirumuskan sebagai:

Hubungan antara barisan (U_n ) dan deret geometri (S_n)

U_n = S_n - S_n-1

Sisipan Barisan Geometri

Misalkan diketahui barisan U₁ , U₂ , U₃ ,...,U_n . Apabila di antara dua suku yang berurutan disisipkan k buah suku baru sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka:

1. Rasio baru (r')

2. Banyaknya suku baru (n')

n' = n + (n - 1)k

3. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan (Sn')

Contoh :

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ...

a = U₁ = 3

r = 2

S₁₀ = 3.069

2. Suatu deret geometri dinyatakan 2 + 2² + 2³ + ... + 2ⁿ = 510. Carilah nilai n.

Jawab :

a = U₁ = 2

r = 2

S_n = 510

510 = 2ⁿ⁺¹ – 2

512 = 2ⁿ⁺¹

2⁹ = 2ⁿ⁺¹ ® n+1= 9 ® n = 8

Baca Juga:

Belajar Matematika : Konjungsi dan Disjungsi dalam Logika Matematika

C. Deret Geometri Tak Hingga

Amati gambar berikut! Apa pendapatmu tentang gambar tersebut? Jelaskan!

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri yang banyak suku – sukunya tak hingga. S_~ = U₁ + U₂ + U₃ + ... = a + ar + ar² + ... Deret geometri tak hingga terdiri atas dua jenis yaitu konvergen dan divergen.

Jika deret geometri tak hingga dengan – 1 < r < 1 maka jumlah deret geometri tak hingga tersebut mempunyai limit jumlah (konvergen) yaitu

di mana

S_~ = jumlah deret geometri tak hingga

a = suku pertama

r = rasio.

Contoh :

Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 2 + 1 + 0,5 + ...

Jawab :

a = 2, r = 0,5 (konvergen).

S~ = 4

Jika r ≤ - 1 atau r ≥ 1 maka deret geometrinya tak hingga akan divergen yaitu jumlah suku – sukunya tidak terbatas atau tidak menuju bilangan tertentu.

Contoh :

Deret geometri tak hingga divergen :

a. – 2 + 4 + (- 8) + 16 + ... mempunyai rasio r = - 2 < 1 sehingga tidak mempunyai limit jumlah.

b. 5 + 15 + 45 + 135 + ... mempunyai rasio r = 3 > 1 sehingga tidak mempunyai limit jumlah.

Sekian dulu postingan "Barisan dan Deret Geometri (Deret Ukur)" kali ini, mudah-mudahan bisa dipahami sehingga mempermudah kalian menjawab soal terkait.